6А. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\left( {{a^2} + a + 1} \right){x^2} + \,\left( {2a-3} \right)\,x + a-5 = 0\) имеет два различных корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1.
Для того чтобы корни были по разные стороны от числа 1, необходимо и достаточно выполнения условия (см. рис.): \(f\left( 1 \right) < 0.\) \({a^2} + a + 1 + 2a-3 + a-5 < 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{a^2} + 4a-7 < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a\, \in \,\left( {-2-\sqrt {11} ;-2 + \sqrt {11} } \right).\) ОТВЕТ: \(\left( {-2-\sqrt {11} ;-2 + \sqrt {11} } \right).\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = \left( {{a^2} + a + 1} \right){x^2} + \left( {2a-3} \right)x + a-5.\) Так как \({a^2} + a + 1 > 0\) при \(a\, \in \,R\), то графиком этой функции является парабола ветви которой направлены вверх.