7В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({x^2}-a\,x + 2 = 0\) имеет единственный корень, удовлетворяющий условию \(1 < x < 3\).
Проверим случай, когда \(D = 0:\)
\(D = {a^2}-8 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{a^2} = 8\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = \pm \sqrt 8 .\)
Если \(a = \sqrt 8 ,\) то
\({x^2}-\sqrt 8 x + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x-\sqrt 2 } \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \sqrt 2 \in \left( {1;3} \right).\)
Значит \(a = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 \) подходит.
Если \(a = -\sqrt 8 ,\) то
\({x^2} + \sqrt 8 x + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x + \sqrt 2 } \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -\sqrt 2 \notin \left( {1;3} \right).\)
Значит \(a = -\sqrt 8 \) не подходит.
Введём функцию \(f\left( x \right) = {x^2}-a\,x + 2,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх.
Оба случая, представленные на рисунке, выполняются, если:
\(f\left( 1 \right) \cdot f\left( 3 \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {1-a + 2} \right)\left( {9-3a + 2} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a-3} \right)\left( {3a-11} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {3;\frac{{11}}{3}} \right).\)
Проверим случаи, когда один из корней равен 1 или 3:
Если \(x = 1,\) то \(1-a + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = 3.\)
При \(a = 3\) исходное уравнение примет вид:
\({x^2}-3x + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \notin \left( {1;3} \right),\,}\\{x = 2 \in \left( {1;3} \right).}\end{array}} \right.\)
Следовательно, \(a = 3\) подходит.
Если \(x = 3,\) то \(9-3a + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = \frac{{11}}{3}.\)
При \(a = \frac{{11}}{3}\) исходное уравнение примет вид:
\({x^2}-\frac{{11}}{3}x + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 \notin \left( {1;3} \right),}\\{x = \frac{2}{3} \notin \left( {1;3} \right).}\end{array}} \right.\)
Следовательно, \(a = \frac{{11}}{3}\) не подходит.
Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень, удовлетворяющий условию \(1 < x < 3,\) при \(a \in \left\{ {2\sqrt 2 } \right\} \cup \left[ {3;\,\frac{{11}}{3}} \right).\)
Ответ: \(\left\{ {2\sqrt 2 } \right\} \cup \left[ {3;\,\frac{{11}}{3}} \right).\)