8В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\left( {a-1} \right){x^2}-\left( {a + 1} \right)\,x + a = 0\) имеет единственный корень, удовлетворяющий условию \(0 < x < 3\).
Проверим случай, когда \(D = 0:\) \(D = {\left( {a + 1} \right)^2}-4a\left( {a-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-3{a^2} + 6a + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = \frac{{3 \pm 2\sqrt 3 }}{3}.\) Если \(a = \frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{3},\) то \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}{x^2}-\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}x + \frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{3} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{{\left( {6 + 2\sqrt 3 } \right) \cdot 3}}{{2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} \in \left( {0;3} \right).\) Значит \(a = \frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{3}\) подходит. Если \(a = \frac{{3-2\sqrt 3 }}{3},\) то \(-\frac{{2\sqrt 3 }}{3}{x^2}-\frac{{6-2\sqrt 3 }}{3}x + \frac{{3-2\sqrt 3 }}{3} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -\frac{{\left( {6-2\sqrt 3 } \right) \cdot 3}}{{2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt 3 }} = \frac{{-\sqrt 3 + 1}}{2} \notin \left( {0;3} \right).\) Значит \(a = \frac{{3-2\sqrt 3 }}{3}\) не подходит. Введём функцию \(f\left( x \right) = \left( {a-1} \right){x^2}-\left( {a + 1} \right)\,x + a = 0,\) графиком которой является парабола, если \(a \ne 1.\) Все четыре случая, представленные на рисунке, выполняются, если: \(f\left( 0 \right) \cdot f\left( 3 \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a\left( {9a-9-3a-3 + a} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;a\left( {7a-12} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {0;\frac{{12}}{7}} \right).\) Проверим случаи, когда один из корней равен 0 или 3: Если \(x = 0,\) то \(a = 0.\) При \(a = 0\) исходное уравнение примет вид: \({x^2} + x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \notin \left( {0;3} \right),\,}\\{x = -1 \notin \left( {0;3} \right).}\end{array}} \right.\) Следовательно, \(a = 0\) не подходит. Если \(x = 3,\) то \(9a-9-3a-3 + a = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = \frac{{12}}{7}.\) При \(a = \frac{{12}}{7}\) исходное уравнение примет вид: \(\frac{5}{7}{x^2}-\frac{{19}}{7}x + \frac{{12}}{7} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 \notin \left( {0;3} \right),}\\{x = \frac{4}{5} \in \left( {0;3} \right).}\end{array}} \right.\) Следовательно, \(a = \frac{{12}}{7}\) подходит. Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень, удовлетворяющий условию \(0 < x < 3,\) при \(a \in \left( {0;\,\frac{{12}}{7}} \right] \cup \left\{ {\frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right\}.\) Ответ: \(\left( {0;\,\frac{{12}}{7}} \right] \cup \left\{ {\frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right\}.\)