8А. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(a\,{x^2}-2\left( {2a-1} \right)\,x + 2-3a = 0\) имеет два различных корня, каждый из которых больше 1.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x_B} = -\frac{b}{{2a}} > 1,}\\{a \cdot f\left( 1 \right) > 0\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4{{\left( {2a-1} \right)}^2}-4a\left( {2-3a} \right) > 0,}\\{\frac{{2\left( {2a-1} \right)}}{{2a}} > 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a \cdot \left( {a-4a + 2 + 2-3a} \right) > 0\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7{a^2}-6a + 1 > 0,}\\{\frac{{a-1}}{a} > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\,a\left( {4-6a} \right) > 0\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\, \in \,\left( {-\infty ;\frac{{3-\sqrt 2 }}{7}} \right) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt 2 }}{7};\infty } \right),}\\{a\, \in \,\left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {1;\infty } \right),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a\, \in \,\left( {0;\frac{2}{3}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\emptyset .\) ОТВЕТ: \(\emptyset .\)
Если \(a = 0\), то уравнение будет линейным, которое не может иметь два различных корня. Введём функцию \(f\left( x \right) = a\,{x^2}-2\left( {2a-1} \right)x + 2-3a\) графиком которой является парабола, если \(a \ne 0.\) Чтобы уравнение имело два различных корня, каждый из которых больше 1, необходимо выполнение следующих условий (см. рис.):