9А. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({x^2} + 4\,a\,x + 1-2a + 4{a^2} = 0\) имеет два различных корня, каждый из которых меньше \(-1\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x_B} = -\frac{b}{{2a}} < -1,}\\{f\left( {-1} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{16{a^2}-4 + 8a-16{a^2} > 0,}\\{-\frac{{4a}}{2} < -1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{1-4a + 1-2a + 4{a^2} > 0\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8a-4 > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{2a > 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{2{a^2}-3a + 1 > 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > \frac{1}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a > \frac{1}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a\, \in \,\left( {-\infty ;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1;\infty } \right)}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,a \in \left( {1;\infty } \right).\) ОТВЕТ: \(\left( {1;\,\infty } \right).\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = {x^2} + 4ax + 1-2a + 4{a^2} = 0\) графиком которой является парабола ветвями вверх. Для того чтобы уравнение имело два различных корня, каждый из которых меньше \(-1\), необходимо выполнение условий (см. рис.):