1В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \({x^2}-\left( {a-5} \right)\,x + {a^2}-4a-5 < 0\) будет выполняться для любого значения x, принадлежащего интервалу \(\left( {-4;\,0} \right).\)
Для того чтобы неравенство выполнялось для любого значения x, принадлежащего интервалу \(\left( {-4;\,0} \right)\) (см. риc.), необходимо выполнение следующих условий: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-4} \right) \le 0,}\\{f\left( 0 \right) \le 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{16 + 4a-20\, + {a^2}-4a-5 \le 0,}\\{{a^2}-4a-5 \le 0\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}-9 \le 0,\;\;\;\;\;\,\,}\\{{a^2}-4a-5 \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left[ {-3;3} \right],}\\{a \in \left[ {-1;5} \right]\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;a \in \left[ {-1;3} \right].\) Таким образом, неравенство будет выполняться для любого значения x, принадлежащего интервалу \(\left( {-4;\,0} \right),\) при \(a \in \left[ {-1;3} \right].\) Ответ: \(\left[ {-1;\,3} \right].\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = {x^2}-\left( {a-5} \right)\,x + {a^2}-4a-5,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Следовательно, решение исходного неравенства будет расположено между корнями квадратного трёхчлена \({x^2}-\left( {a-5} \right)\,x + {a^2}-4a-5.\)