10В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \({x^2}-a\,x + a > 0\) выполняется при всех \(\left| {\,x\,} \right| < 1.\)
ОТВЕТ: \(\left( {0;\,\infty } \right).\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = {x^2}-a\,x + a,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Следовательно, решение исходного неравенства будет расположено за корнями квадратного трёхчлена \({x^2}-a\,x + a.\) Если \(D = {a^2}-4a < 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a \in \left( {0;\,4} \right),\) то \(x \in R,\) значит \(a \in \left( {0;4} \right)\) подходит. Если \(D \ge 0,\) то неравенство выполнится при всех \(\left| x \right| < 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-1 < x < 1\) в следующих случаях. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D \ge 0,\;\;\;}\\{{x_{\rm{B}}} > 1,\;\;\,\,}\\{f\left( 1 \right) \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}-4a \ge 0,}\\{\dfrac{a}{2} > 1,\;\;\;\;\;\,\;\;\,\,}\end{array}}\\{1-a + a \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a\left( {a-4} \right) \ge 0,}\\{a > 2,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\,}\end{array}}\\{1 \ge 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;0} \right] \cup \left[ {4;\infty } \right),}\\{a \in \left( {2;\infty } \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\,}\end{array}}\\{a \in R\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left[ {4;\infty } \right).\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D \ge 0,\;\;\,\;\;\;}\\{{x_{\rm{B}}} < -1,\;\;\,\,}\\{f\left( {-1} \right) \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}-4a \ge 0,}\\{\dfrac{a}{2} < -1,\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}}\\{1 + a + a \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a\left( {a-4} \right) \ge 0,}\\{a < -2,\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}}\\{1 + 2a \ge 0\;\;\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;0} \right] \cup \left[ {4;\infty } \right),}\\{a \in \left( {-\infty ;-2} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}}\\{a \in \left[ {-0,5;\infty } \right)\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Таким образом, при \(a \in \left( {0;\infty } \right)\) исходное неравенство выполняется при всех \(\left| {\,x\,} \right| < 1.\) Ответ: \(\left( {0;\,\infty } \right).\) 
Рассмотрим первый случай (см. рис. 1):
Рассмотрим второй случай (см. рис. 2):