Задача 10. Решите неравенство при всех значениях параметра а:  \(\left( {1-{a^2}} \right){x^2} + 2\,a\,x + 1 \geqslant 0.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(x \in \left[ {\frac{{-a + \sqrt {2{a^2}-1} }}{{1-{a^2}}};\,\frac{{-a-\sqrt {2{a^2}-1} }}{{1-{a^2}}}} \right]\) при \(a \in \left( {-\infty ;\,-1} \right) \cup \left( {1;\,\infty } \right);\) \(x \in \left( {-\infty ;\,\frac{1}{2}} \right]\) при \(a = -1;\) \(x \in \left[ {-\frac{1}{2};\,\infty } \right)\) при \(a = 1;\) \(x \in \left( {-\infty ;\,\frac{{-a-\sqrt {2{a^2}-1} }}{{1-{a^2}}}} \right] \cup \left[ {\frac{{-a + \sqrt {2{a^2}-1} }}{{1-{a^2}}};\,\infty } \right)\) при \(a \in \left( {-1;\,-\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\,1} \right);\) \(x \in R\) при \(a \in \left[ {-\frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right].\)

Решение

Если \(a = 1\), то неравенство примет вид:  \(2x + 1 \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x\, \in \,\left[ {-\frac{1}{2};\infty } \right)\).

Если \(a = -1\), то неравенство примет вид:  \(-2x + 1 \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x\, \in \,\left( {-\infty ;\frac{1}{2}} \right]\).

Если \(a \ne  \pm 1\), то:  \(D = 4{a^2}-4 + 4{a^2} = 8{a^2}-4\).

Если  \(1-{a^2} < 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a\, \in \,\left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right)\),  то:

\(D > 0;\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = \frac{{-a-\sqrt {2{a^2}-1} }}{{1-{a^2}}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = \frac{{-a + \sqrt {2{a^2}-1} }}{{1-{a^2}}}\)

и тогда решением неравенства будет являться:

\(x\, \in \,\left[ {\frac{{-a + \sqrt {2{a^2}-1} }}{{1-{a^2}}};\frac{{-a-\sqrt {2{a^2}-1} }}{{1-{a^2}}}} \right].\)

Если  

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1-{a^2} > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{D = 8{a^2}-4 > 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\, \in \,\left( {-1;1} \right),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a\, \in \,\left( {-\infty ;-\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\infty } \right)}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow } \right.\,\,\,\,\,\,\,a \in \left( {-1;-\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};1} \right),\)

то решением неравенства будет являться:

\(x\, \in \,\left( {-\infty ;\frac{{-a-\sqrt {2{a^2}-1} }}{{1-{a^2}}}} \right] \cup \left[ {\frac{{-a + \sqrt {2{a^2}-1} }}{{1-{a^2}}};\infty } \right).\)

Если  \(D = 8{a^2}-4 \le 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a\, \in \,\left[ {-\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]\),  то решением неравенства является: \(x\, \in \,R\).

ОТВЕТ: \(x \in \left[ {\frac{{-a + \sqrt {2{a^2}-1} }}{{1-{a^2}}};\,\frac{{-a-\sqrt {2{a^2}-1} }}{{1-{a^2}}}} \right]\) при \(a \in \left( {-\infty ;\,-1} \right) \cup \left( {1;\,\infty } \right);\) \(x \in \left( {-\infty ;\,\frac{1}{2}} \right]\) при \(a = -1;\) \(x \in \left[ {-\frac{1}{2};\,\infty } \right)\) при \(a = 1;\) \(x \in \left( {-\infty ;\,\frac{{-a-\sqrt {2{a^2}-1} }}{{1-{a^2}}}} \right] \cup \left[ {\frac{{-a + \sqrt {2{a^2}-1} }}{{1-{a^2}}};\,\infty } \right)\) при \(a \in \left( {-1;\,-\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\,1} \right);\) \(x \in R\) при \(a \in \left[ {-\frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right].\)