11В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \(a\,{x^2} + \left( {a + 1} \right)\,x-3 < 0\) выполняется при всех \(x < 2.\)
ОТВЕТ: \(\left( {-7-4\sqrt 3 ;\,0} \right].\)
Если \(a = 0,\) то неравенство является линейным и оно примет вид \(\,x-3 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x < 3.\) Значит неравенство выполняется при всех \(x < 2,\) следовательно \(a = 0\) подходит. Введём функцию \(f\left( x \right) = a\,{x^2} + \left( {a + 1} \right)\,x-3,\) графиком которой является парабола, если \(a \ne 0.\) Исходное неравенство выполнится при всех \(x < 2\) в следующих случаях. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,}\\{D < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{a^2} + 2a + 1 + 12a < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{a^2} + 14a + 1 < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{a \in \left( {-7-4\sqrt 3 ;-7 + 4\sqrt 3 } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-7-4\sqrt 3 ;-7 + 4\sqrt 3 } \right).\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;}\\{D \ge 0,\;\;\;\,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{\rm{B}}} > 2,\;\;\;}\\{f\left( 2 \right) \le 0}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{a^2} + 14a + 1 \ge 0,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{5a + 1}}{{2a}} < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{6a-1 \le 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;0} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{a \in \left( {-\infty ;-7-4\sqrt 3 } \right] \cup \left[ {-7 + 4\sqrt 3 ;\infty } \right),}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\dfrac{1}{5};0} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{a \in \left( {-\infty ;\dfrac{1}{6}} \right]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left[ {-7 + 4\sqrt 3 ;0} \right).\) Таким образом, при \(a \in \left( {-7-4\sqrt 3 ;\,0} \right]\) исходное неравенство выполняется при всех \(x < 2.\) Ответ: \(\left( {-7-4\sqrt 3 ;\,0} \right].\) 
Рассмотрим первый случай (см. рис. 1):
Рассмотрим второй случай (см. рис. 2):