11В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство  \(a\,{x^2} + \left( {a + 1} \right)\,x-3 < 0\)  выполняется при всех  \(x < 2.\)

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left( {-7-4\sqrt 3 ;\,0} \right].\)

Решение

Если  \(a = 0,\)  то неравенство является линейным и оно примет вид  \(\,x-3 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x < 3.\) Значит  неравенство выполняется при всех  \(x < 2,\)  следовательно  \(a = 0\)  подходит.

Введём функцию  \(f\left( x \right) = a\,{x^2} + \left( {a + 1} \right)\,x-3,\)  графиком которой является парабола, если  \(a \ne 0.\)

Исходное неравенство выполнится при всех  \(x < 2\)  в следующих случаях.

Рассмотрим первый случай (см. рис. 1):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,}\\{D < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{a^2} + 2a + 1 + 12a < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{a^2} + 14a + 1 < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{a \in \left( {-7-4\sqrt 3 ;-7 + 4\sqrt 3 } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-7-4\sqrt 3 ;-7 + 4\sqrt 3 } \right).\)

Рассмотрим второй случай (см. рис. 2):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;}\\{D \ge 0,\;\;\;\,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{\rm{B}}} > 2,\;\;\;}\\{f\left( 2 \right) \le 0}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{a^2} + 14a + 1 \ge 0,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{5a + 1}}{{2a}} < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{6a-1 \le 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;0} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{a \in \left( {-\infty ;-7-4\sqrt 3 } \right] \cup \left[ {-7 + 4\sqrt 3 ;\infty } \right),}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\frac{1}{5};0} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{a \in \left( {-\infty ;\frac{1}{6}} \right]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left[ {-7 + 4\sqrt 3 ;0} \right).\)

Таким образом, при  \(a \in \left( {-7-4\sqrt 3 ;\,0} \right]\)  исходное неравенство выполняется при всех  \(x < 2.\)

Ответ:  \(\left( {-7-4\sqrt 3 ;\,0} \right].\)