12В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \(a\,{x^2}-4\,x + 3a + 1 > 0\) выполняется при всех \(x > 0.\)
ОТВЕТ: \(\left( {1;\,\infty } \right).\)
Если \(a = 0,\) то неравенство является линейным и оно примет вид \(\,-4x + 1 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x < \dfrac{1}{4}.\) Значит неравенство не выполняется при всех \(x > 0,\) следовательно \(a = 0\) не подходит. Введём функцию \(f\left( x \right) = a\,{x^2}-4\,x + 3a + 1,\) графиком которой является парабола, если \(a \ne 0.\) Исходное неравенство выполнится при всех \(x > 0\) в следующих случаях. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,}\\{D < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{16-4a\left( {3a + 1} \right) < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{3{a^2} + a-4 > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{a \in \left( {-\infty ;-\dfrac{4}{3}} \right) \cup \left( {1;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {1;\infty } \right).\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;\;}\\{D \ge 0,\;\;\;\,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{\rm{B}}} < 0,\;\;\;}\\{f\left( 0 \right) \ge 0}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{3{a^2} + a-4 \le 0,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{4}{{2a}} < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,}\\{3a + 1 \ge 0\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {0;\infty } \right),\;\;}\\{a \in \left[ {-\dfrac{4}{3};1} \right],}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;0} \right),}\\{a \in \left[ {-\dfrac{1}{3};\infty } \right)}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Таким образом, при \(a \in \left( {1;\,\infty } \right)\) исходное неравенство выполняется при всех \(x > 0.\) Ответ: \(\left( {1;\,\infty } \right).\) 
Рассмотрим первый случай (см. рис. 1):
Рассмотрим второй случай (см. рис. 2):