12В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство  \(a\,{x^2}-4\,x + 3a + 1 > 0\)  выполняется при всех  \(x > 0.\)

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left( {1;\,\infty } \right).\)

Решение

Если  \(a = 0,\)  то неравенство является линейным и оно примет вид \(\,-4x + 1 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x < \frac{1}{4}.\) Значит  неравенство не выполняется при всех  \(x > 0,\)  следовательно  \(a = 0\)  не подходит.

Введём функцию  \(f\left( x \right) = a\,{x^2}-4\,x + 3a + 1,\)  графиком которой является парабола, если  \(a \ne 0.\)

Исходное неравенство выполнится при всех  \(x > 0\)  в следующих случаях.

Рассмотрим первый случай (см. рис. 1):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,}\\{D < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{16-4a\left( {3a + 1} \right) < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{3{a^2} + a-4 > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{a \in \left( {-\infty ;-\frac{4}{3}} \right) \cup \left( {1;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {1;\infty } \right).\)

Рассмотрим второй случай (см. рис. 2):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;\;}\\{D \ge 0,\;\;\;\,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{\rm{B}}} < 0,\;\;\;}\\{f\left( 0 \right) \ge 0}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{3{a^2} + a-4 \le 0,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{4}{{2a}} < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,}\\{3a + 1 \ge 0\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {0;\infty } \right),\;\;}\\{a \in \left[ {-\frac{4}{3};1} \right],}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;0} \right),}\\{a \in \left[ {-\frac{1}{3};\infty } \right)}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)

Таким образом, при  \(a \in \left( {1;\,\infty } \right)\)  исходное неравенство выполняется при всех  \(x > 0.\)

Ответ:  \(\left( {1;\,\infty } \right).\)