\(\dfrac{{{x^2}-\left( {2a + 2} \right)x + a}}{{{x^2}-x + 1}} \le 2.\)
Найдём дискриминант квадратного трёхчлена знаменателя: \(D = 1-4 = -3 < 0.\) Следовательно, \({x^2}-x + 1 > 0\) при \(x \in R\). Тогда после домножения обеих частей неравенства на \({x^2}-x + 1\) оно примет вид:
\({x^2}-\left( {2a + 2} \right)x + a \le 2\left( {{x^2}-x + 1} \right)\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^2} + 2ax + 2-a \ge 0.\)
Последнее неравенство будет выполняться при всех x, если выполнится условие: \(D \le 0\):
\(D = 4{a^2}-4\left( {2-a} \right) \le 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{a^2} + a-2 \le 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow a \in \left[ {-2;\,1} \right].\)
Таким образом, исходное неравенство выполнится при всех значениях x, если \(\,a \in \left[ {-2;\,1} \right].\)