13В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \({x^2}-2a\,x-{a^2} + a + 6 < 0\) выполняется при всех \(0 \le x \le 2.\)
Чтобы исходное неравенство выполнялось при всех \(0 \le x \le 2\) (см. рис.), необходимо выполнение следующих условий: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 0 \right) < 0,}\\{f\left( 2 \right) < 0\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-{a^2} + a + 6 < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{4-4a-{a^2} + a + 6 < 0}\end{array}\;\;\;\;} \right. \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}-a-6 > 0,\;\,\;}\\{{a^2} + 3a-10 > 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {3;\infty } \right),}\\{a \in \left( {-\infty ;-5} \right) \cup \left( {2;\infty } \right)\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\infty ;-5} \right) \cup \left( {3;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\,-5} \right) \cup \left( {3;\,\,\infty } \right).\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = {x^2}-2a\,x-{a^2} + a + 6,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Следовательно, решение исходного неравенства будет расположено между корнями квадратного трёхчлена \({x^2}-2a\,x-{a^2} + a + 6.\)