14В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \(2{x^2} + \left( {a-1} \right)\,x + 6\left( {a-1} \right) \le {x^2}-x-6\) выполняется при всех \(1 < x < 2.\)
\(2{x^2} + \left( {a-1} \right)\,x + 6\left( {a-1} \right) \le {x^2}-x-6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + a\,x + 6a \le 0.\) Чтобы исходное неравенство выполнялось при всех \(1 < x < 2\) (см. рис.), необходимо выполнение следующих условий: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 1 \right) \le 0,}\\{f\left( 2 \right) \le 0\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + a + 6a \le 0,\;\;}\\{4 + 2a + 6a \le 0}\end{array}\;\;\;\;} \right. \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7a \le -1,}\\{8a \le -4\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;-\frac{1}{7}} \right],}\\{a \in \left( {-\infty ;-\frac{1}{2}} \right]\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\infty ;-\frac{1}{2}} \right].\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\,-\frac{1}{2}} \right].\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = {x^2} + a\,x + 6a,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Следовательно, решение исходного неравенства будет расположено между корнями квадратного трёхчлена \({x^2} + a\,x + 6a.\)