Введём функцию \(f\left( x \right) = {x^2}-2a\,x-3,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Следовательно, решением исходного неравенства будет являться отрезок, расположенный между корнями квадратного трёхчлена \({x^2}-2a\,x-3\).
Рассмотрим квадратное уравнение в общем виде:
\(a{x^2} + bx + c = 0;\;\;\;\;{x_1} = \dfrac{{-b + \sqrt D }}{{2a}},\;\;\;\;{x_2} = \dfrac{{-b-\sqrt D }}{{2a}}.\)
Запишем модуль разности корней уравнения:
\(\left| {{x_1}-{x_2}} \right| = \left| {\dfrac{{-b + \sqrt D }}{{2a}}-\dfrac{{-b-\sqrt D }}{{2a}}} \right| = \dfrac{{\sqrt D }}{{\left| a \right|}}.\)
Заметим, что длина отрезка есть модуль разности корней уравнения.
Найдём дискриминант квадратного уравнения \({x^2}-2a\,x-3 = 0\): \(D = 4{a^2} + 12.\)
Видно, что \(D > 0\) при \(a \in R.\)
По условию:
\(\left| {{x_1}-{x_2}} \right| = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\sqrt D }}{{\left| a \right|}} = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {4{a^2} + 12} = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4{a^2} + 12 = 16\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = \pm 1.\)
Ответ: \( \pm 1.\)