15В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых решением неравенства \({x^2}-2a\,x-3 \le 0\) будет являться отрезок длины 4.
ОТВЕТ: \( \pm 1.\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = {x^2}-2a\,x-3,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Следовательно, решением исходного неравенства будет являться отрезок, расположенный между корнями квадратного трёхчлена \({x^2}-2a\,x-3\). Рассмотрим квадратное уравнение в общем виде: \(a{x^2} + bx + c = 0;\;\;\;\;{x_1} = \frac{{-b + \sqrt D }}{{2a}},\;\;\;\;{x_2} = \frac{{-b-\sqrt D }}{{2a}}.\) Запишем модуль разности корней уравнения: \(\left| {{x_1}-{x_2}} \right| = \left| {\frac{{-b + \sqrt D }}{{2a}}-\frac{{-b-\sqrt D }}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt D }}{{\left| a \right|}}.\) Заметим, что длина отрезка есть модуль разности корней уравнения. Найдём дискриминант квадратного уравнения \({x^2}-2a\,x-3 = 0\): \(D = 4{a^2} + 12.\) Видно, что \(D > 0\) при \(a \in R.\) По условию: \(\left| {{x_1}-{x_2}} \right| = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\sqrt D }}{{\left| a \right|}} = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {4{a^2} + 12} = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4{a^2} + 12 = 16\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = \pm 1.\) Ответ: \( \pm 1.\)