16В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых решением неравенства \(a\,{x^2}-2\left( {a + 1} \right)\,x + 1 \ge 0\) будет являться отрезок длины меньше 2.
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\,-1} \right).\)
Если \(a = 0,\) то неравенство является линейным и его решением не может являться отрезок длины меньше 2, следовательно \(a = 0\) не подходит. Введём функцию \(f\left( x \right) = a\,{x^2}-2\left( {a + 1} \right)\,x + 1,\) являющуюся параболой, если \(a \ne 0.\) Для того чтобы решением исходного неравенства являлся отрезок длины меньше 2, необходимо, чтобы решение располагалось между корнями квадратного трёхчлена. Тогда ветви параболы должны быть направлены вниз, то есть \(a < 0\) (см. рис.). Рассмотрим квадратное уравнение в общем виде: \(a{x^2} + bx + c = 0;\;\;\;\;{x_1} = \frac{{-b + \sqrt D }}{{2a}},\;\;\;\;{x_2} = \frac{{-b-\sqrt D }}{{2a}}.\) Запишем модуль разности корней уравнения: \(\left| {{x_1}-{x_2}} \right| = \left| {\frac{{-b + \sqrt D }}{{2a}}-\frac{{-b-\sqrt D }}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt D }}{{\left| a \right|}}.\) Заметим, что длина отрезка есть модуль разности корней уравнения. Найдём дискриминант квадратного уравнения \(a\,{x^2}-2\left( {a + 1} \right)\,x + 1 = 0\): \(D = 4{a^2} + 8a + 4-4a = 4{a^2} + 4a + 4.\) Видно, что \(D > 0\) при \(a \in R.\) По условию: \(\left| {{x_1}-{x_2}} \right| < 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\sqrt D }}{{\left| a \right|}} < 2.\) Так как \(a < 0,\) то последнее неравенство примет вид: \(\frac{{\sqrt D }}{{-a}} < 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2\sqrt {{a^2} + a + 1} }}{{-a}} < 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {{a^2} + a + 1} < -a\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + a + 1 \ge 0,\,}\\{{a^2} + a + 1 < {a^2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in R,\,}\\{a < -1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\infty ;-1} \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\,-1} \right).\)