17В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \(\left( {x-3a} \right)\left( {x + 2a + 1} \right) < 0\) выполняется при всех \(x \in \left[ {\,1;\,3} \right].\)
\(\left( {x-3a} \right)\left( {x + 2a + 1} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + x\left( {1-a} \right)-6{a^2}-3a < 0.\) Для того чтобы неравенство выполнялось при всех \(x \in \left[ {\,1;\,3} \right]\) (см. рис.), необходимо выполнение следующих условий: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 1 \right) < 0,}\\{f\left( 3 \right) < 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {1-3a} \right)\left( {2 + 2a} \right) < 0,}\\{\left( {3-3a} \right)\left( {4 + 2a} \right) < 0}\end{array}} \right.} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {\frac{1}{3};\infty } \right),}\\{a \in \left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {1;\infty } \right)\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\,-2} \right) \cup \left( {1;\,\infty } \right).\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = {x^2} + x\left( {1-a} \right)-6{a^2}-3a,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Следовательно, решение исходного неравенства будет расположено между корнями квадратного трёхчлена \({x^2} + x\left( {1-a} \right)-6{a^2}-3a.\)