18В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \(\left( {{a^2}-x} \right)\left( {x + a + 5} \right) \ge 0\) выполняется при всех \(x \in \left[ {\,1;\,4} \right].\)
\(\left( {{a^2}-x} \right)\left( {x + a + 5} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-{x^2} + x\left( {{a^2}-a-5} \right) + {a^3} + 5{a^2} \ge 0.\) Для того чтобы неравенство выполнялось при всех \(x \in \left[ {\,1;\,4} \right]\) (см. рис.), необходимо выполнение следующих условий: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 1 \right) \ge 0,}\\{f\left( 4 \right) \ge 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{a^2}-1} \right)\left( {a + 6} \right) \ge 0,}\\{\left( {{a^2}-4} \right)\left( {a + 9} \right) \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a-1} \right)\left( {a + 1} \right)\left( {a + 6} \right) \ge 0,\,}\\{\left( {a-2} \right)\left( {a + 2} \right)\left( {a + 9} \right) \ge 0}\end{array}} \right.} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left[ {-6;-1} \right] \cup \left[ {1;\infty } \right),}\\{a \in \left[ {-9;-2} \right] \cup \left[ {2;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left[ {-6;-2} \right] \cup \left[ {2;\infty } \right).\) Ответ: \(\left[ {\,-6;\,-2} \right] \cup \left[ {\,2;\,\infty } \right).\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = -{x^2} + x\left( {{a^2}-a-5} \right) + {a^3} + 5{a^2},\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вниз. Следовательно, решение исходного неравенства будет расположено между корнями квадратного трёхчлена \(-{x^2} + x\left( {{a^2}-a-5} \right) + {a^3} + 5{a^2}.\)