Профиль №18. Квадратные неравенства с параметрами. Задача 19В

ОТВЕТ:  \(\left( {\dfrac{3}{4};\,\infty } \right).\)

Если  \(a = 1,\)  то неравенство является линейным и оно примет вид  \(0 \cdot \,{x^2}-x + 1-3 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x < -2,\)  значит  \(a = 1\)  подходит.

Введём функцию  \(f\left( x \right) = \left( {a-1} \right)\,{x^2} + \left( {2a-3} \right)\,x + a-3,\)  являющуюся параболой, если  \(a \ne 1.\)

Если  \(a-1 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a > 1,\)  то решение неравенства будет за корнями квадратного трёхчлена  \(\left( {a-1} \right)\,{x^2} + \left( {2a-3} \right)\,x + a-3\), поэтому оно выполнится хотя бы при одном  \(x < 1,\)  значит  \(a > 1\)  подходит.

Если  \(a-1 < 0\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a < 1,\)  то неравенство выполнится хотя бы при одном  \(x < 1\)  в следующих случаях.

Рассмотрим первый случай (см. рис. 1):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 1,\;\;\;\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{D > 0,\;\;\;}\\{{x_{\rm{B}}} < 1,\;\;\;}\\{f\left( 1 \right) \le 0}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{4{a^2}-12a + 9-4{a^2} + 16a-12 > 0,}\\{\dfrac{{-2a + 3}}{{2a-2}} < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{a-1 + 2a-3 + a-3 \le 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{4a-3 > 0,\;}\\{\dfrac{{4a-5}}{{2a-2}} > 0,}\\{4a-7 \le 0\,\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a > \dfrac{3}{4},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{a \in \left( {-\infty ;1} \right) \cup \left( {\dfrac{5}{4};\infty } \right),}\\{a \le \dfrac{7}{4}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\;a \in \left( {\dfrac{3}{4};1} \right).\)

Рассмотрим второй случай (см. рис. 2):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 1,\;\;\;\;\;}\\{f\left( 1 \right) > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{a-1 + 2a-3 + a-3 > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 1,\;\;}\\{a > \dfrac{7}{4}\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)

Таким образом, при  \(a \in \left( {\dfrac{3}{4};\,\infty } \right)\)  исходное неравенство выполняется хотя бы при одном \(x < 1.\)

Ответ:  \(\left( {\dfrac{3}{4};\,\infty } \right).\)