Задача 1. При каких значениях параметра а неравенство \({x^2}-2\left( {a + 1} \right)\,x + 9a-5 > 0\) выполняется при всех значениях x?
\(D = 4{\left( {a + 1} \right)^2}-4\left( {9a-5} \right) < 0\,\left| {:4} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{a^2} + 2a + 1-9a + 5 < 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{a^2}-7a + 6 < 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a\, \in \,\left( {1;6} \right).\) Таким образом, исходное неравенство выполняется при всех значениях x, если \(a\, \in \,\left( {1;6} \right).\) ОТВЕТ: \(\left( {1;\,6} \right).\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = {x^2}-2\left( {a + 1} \right)x + 9a-5\) графиком которой является парабола ветвями вверх. Исходное неравенство будет выполняться при любом x, если \(D < 0\) (см. рис.):