20В. При каких значениях параметра a каждое решение неравенства \({x^2}-3x + 2 < 0\) будет содержаться среди решений неравенства \(a\,{x^2}-\left( {3a + 1} \right)\,x + 3 \ge 0?\)
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\,\dfrac{1}{2}} \right].\)
\({x^2}-3x + 2 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-2} \right)\left( {x-1} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {1;2} \right).\) Рассмотрим второе неравенство \(a\,{x^2}-\left( {3a + 1} \right)\,x + 3 \ge 0.\) Если \(a = 0,\) то неравенство является линейным и оно примет вид \(0 \cdot \,{x^2}-x + 3 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le 3,\) значит \(a = 0\) подходит. Каждое решение неравенства \({x^2}-3x + 2 < 0\) будет содержаться среди решений неравенства \(a\,{x^2}-\left( {3a + 1} \right)\,x + 3 \ge 0\) в следующих случаях. Рассмотрим первый случай (см. рис. 1): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;}\\{f\left( 1 \right) \ge 0,}\\{f\left( 2 \right) \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{a-3a-1 + 3 \ge 0,\;\;}\\{4a-6a-2 + 3 \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\;}\\{2a-2 \le 0,}\\{2a-1 \le 0\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,}\\{a \le 1,\,}\end{array}}\\{a \le \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\infty ;0} \right).\) Найдём корни квадратного трёхчлена \(a\,{x^2}-\left( {3a + 1} \right)\,x + 3 = 0:\) \(D = 9{a^2} + 6a + 1-12a = {\left( {3a-1} \right)^2};\,\,\,\,\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{3a + 1 + 3a-1}}{{2a}},}\\{x = \dfrac{{3a + 1-3a + 1}}{{2a}}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;}\\{x = \dfrac{1}{a}.}\end{array}} \right.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,}\\{\dfrac{1}{a} \ge 2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,}\\{a \le \dfrac{1}{2}}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right]} \right..\) Таким образом, каждое решение неравенства \({x^2}-3x + 2 < 0\) будет содержаться среди решений неравенства \(a\,{x^2}-\left( {3a + 1} \right)\,x + 3 \ge 0\) при \(a \in \left( {-\infty ;\,\dfrac{1}{2}} \right].\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\,\dfrac{1}{2}} \right].\) 
Введём функцию \(f\left( x \right) = a\,{x^2}-\left( {3a + 1} \right)\,x + 3,\) графиком которой является парабола, если \(a \ne 0.\)
Рассмотрим второй случай (см. рис. 2):