21В. При каких значениях параметра a любое решение неравенства \({x^2}-x-2 < 0\) больше любого решения неравенства \(a\,{x^2}-4\,x-1 \ge 0?\)
\({x^2}-x-2 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-1;2} \right).\) Рассмотрим второе неравенство \(a\,{x^2}-4\,x-1 \ge 0.\) Если \(a = 0,\) то неравенство является линейным \(0 \cdot \,{x^2}-4x-1 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le -\frac{1}{4},\) значит \(a = 0\) не подходит. Введём функцию \(f\left( x \right) = a\,{x^2}-4\,x-1,\) графиком которой является парабола, если \(a \ne 0.\) Если \(a < 0,\) то любое решение неравенства \({x^2}-x-2 < 0\) больше любого решения неравенства \(a\,{x^2}-4\,x-1 \ge 0\) в следующих случаях. Рассмотрим первый случай (см. рис. 1): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,}\\{D < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{16 + 4a < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\,\,}\\{a < -4}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\infty ;-4} \right).\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\,}\\{D \ge 0,\;\;\;\;\;\,}\\{{x_{\rm{B}}} < -1,\;\;\;}\\{f\left( {-1} \right) \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{16 + 4a \ge 0,}\\{\frac{2}{a} < -1,\;\;\;\;\;\;\,}\\{a + 4-1 \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\\{a \ge -4,\;\;\;\;\;\;}\\{a \in \left( {-2;0} \right),}\\{a \le -3\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Таким образом, любое решение неравенства \({x^2}-x-2 < 0\) больше любого решения неравенства \(a\,{x^2}-4\,x-1 \ge 0\) при \(a \in \left( {-\infty ;\,-4} \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\,-4} \right).\)
Если \(a > 0,\) то все решения неравенства \(a\,{x^2}-4\,x-1 \ge 0\) будут за корнями квадратного трёхчлена \(a\,{x^2}-4\,x-1\) или решения будут \(x \in R,\) поэтому все они не могут удовлетворять условию \(-1.\)
Рассмотрим второй случай (см. рис. 2):