22В (ЕГЭ 2010). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых ровно одно решение неравенства \({x^2} + \left( {5a + 3} \right)\,x + 4{a^2} \le 4\) удовлетворяет неравенству \(a\,x\,\left( {\,x-4-a} \right) \le 0.\)
ОТВЕТ: \(-\frac{5}{3};\,\,\,\;\;-\frac{3}{2};\,\,\,\;\;-1;\,\,\,\;\;1.\)
Рассмотрим первое неравенство: \({x^2} + \left( {5a + 3} \right)\,x + 4{a^2} \le 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + \left( {5a + 3} \right)\,x + 4{a^2}-4 \le 0.\) Найдём корни квадратного трёхчлена \({x^2} + \left( {5a + 3} \right)\,x + 4{a^2}-4 = 0:\) \(D = 25{a^2} + 30a + 9-16{a^2} + 16 = 9{a^2} + 30a + 25 = {\left( {3a + 5} \right)^2};\;\;\;\;{x_1} = -a + 1;\;\;\;\;{x_2} = -4a-4.\) \({x^2} + \left( {5a + 3} \right)\,x + 4{a^2}-4 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + a-1} \right)\left( {x + 4a + 4} \right) \le 0.\) Рассмотрим второе неравенство: \(a\,x\,\left( {\,x-4-a} \right) \le 0.\) Найдём корни квадратного трёхчлена \(a\,x\,\left( {\,x-4-a} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x_3} = 0;\;\;\;\;{x_4} = 4 + a.\) Рассмотрим случаи, при которых ровно одно решение неравенства \({x^2} + \left( {5a + 3} \right)\,x + 4{a^2} \le 4\) удовлетворяет неравенству \(a\,x\,\left( {\,x-4-a} \right) \le 0.\) Первый случай: \({x_1} = {x_2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-a + 1 = -4a-4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = -\frac{5}{3}.\) При \(a = -\frac{5}{3}\) решением первого неравенства будет являться \(x = \frac{8}{3}.\) Подставим \(x = \frac{8}{3},\;\;\;\;a = -\frac{5}{3}\) во второе неравенство: \(-\frac{5}{3}\, \cdot \frac{8}{3}\,\left( {\,\frac{8}{3}-4 + \frac{5}{3}} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-\frac{{40}}{9} \cdot \frac{1}{3} < 0.\) Значит, \(a = -\frac{5}{3}\) подходит. Второй случай: \({x_1} = {x_3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-a + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = 1.\) При \(a = 1\) первое неравенство примет вид: \({x^2} + 8x \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,x \in \left[ {-8;0} \right],\) а второе неравенство: \(x\left( {x-5} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,x \in \left[ {0;5} \right].\) Следовательно, \(a = 1\) подходит. Третий случай: \({x_1} = {x_4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-a + 1 = 4 + a\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = -\frac{3}{2}.\) При \(a = -\frac{3}{2}\) первое неравенство примет вид: \({x^2}-4,5x + 5 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,x \in \left[ {2;2,5} \right],\) а второе неравенство: \(-1,5x\left( {x-2,5} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,x \in \left( {-\infty ;0} \right] \cup \left[ {2,5;\infty } \right).\) Следовательно, \(a = -\frac{3}{2}\) подходит. Четвёртый случай: \({x_2} = {x_3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-4a-4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = -1.\) При \(a = -1\) первое неравенство примет вид: \({x^2}-2x \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,x \in \left[ {0;2} \right],\) а второе неравенство: \(-x\left( {x-3} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,x \in \left( {-\infty ;0} \right] \cup \left[ {3;\infty } \right).\) Следовательно, \(a = -1\) подходит. Пятый случай: \({x_2} = {x_4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-4a-4 = 4 + a\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = -\frac{8}{5}.\) При \(a = -\frac{8}{5}\) первое неравенство примет вид: \({x^2}-5x + \frac{{156}}{{25}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,x \in \left[ {\frac{{12}}{5};\frac{{13}}{5}} \right],\) а второе неравенство: \(-\frac{8}{5}x\left( {x-\frac{{12}}{5}} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,x \in \left( {-\infty ;0} \right] \cup \left[ {\frac{{12}}{5};\infty } \right).\) Следовательно, \(a = -\frac{8}{5}\) не подходит. Таким образом, одно решение неравенства \({x^2} + \left( {5a + 3} \right)\,x + 4{a^2} \le 4\) удовлетворяет неравенству \(a\,x\,\left( {\,x-4-a} \right) \le 0\) при \(a = -\frac{5}{3};\,\,\,\;\;a = -\frac{3}{2};\,\,\,\;\;a = -1;\,\,\,\;\;a = 1.\) Ответ: \(-\frac{5}{3};\,\,\,\;\;-\frac{3}{2};\,\,\,\;\;-1;\,\,\,\;\;1.\)