Профиль №18. Квадратные неравенства с параметрами. Задача 22В

ОТВЕТ:  \(-\dfrac{5}{3};\,\,\,\;\;-\dfrac{3}{2};\,\,\,\;\;-1;\,\,\,\;\;1.\)

Рассмотрим первое неравенство:

\({x^2} + \left( {5a + 3} \right)\,x + 4{a^2} \le 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + \left( {5a + 3} \right)\,x + 4{a^2}-4 \le 0.\)

Найдём корни квадратного трёхчлена  \({x^2} + \left( {5a + 3} \right)\,x + 4{a^2}-4 = 0:\)

\(D = 25{a^2} + 30a + 9-16{a^2} + 16 = 9{a^2} + 30a + 25 = {\left( {3a + 5} \right)^2};\;\;\;\;{x_1} = -a + 1;\;\;\;\;{x_2} = -4a-4.\)

\({x^2} + \left( {5a + 3} \right)\,x + 4{a^2}-4 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + a-1} \right)\left( {x + 4a + 4} \right) \le 0.\)

Рассмотрим второе неравенство:  \(a\,x\,\left( {\,x-4-a} \right) \le 0.\)

Найдём корни квадратного трёхчлена  \(a\,x\,\left( {\,x-4-a} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x_3} = 0;\;\;\;\;{x_4} = 4 + a.\)

Рассмотрим случаи, при которых ровно одно решение неравенства  \({x^2} + \left( {5a + 3} \right)\,x + 4{a^2} \le 4\)  удовлетворяет неравенству  \(a\,x\,\left( {\,x-4-a} \right) \le 0.\)

Первый случай:

\({x_1} = {x_2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-a + 1 = -4a-4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = -\dfrac{5}{3}.\)

При  \(a = -\dfrac{5}{3}\)   решением первого неравенства будет являться  \(x = \dfrac{8}{3}.\)  Подставим  \(x = \dfrac{8}{3},\;\;\;\;a = -\dfrac{5}{3}\)  во второе неравенство:  \(-\dfrac{5}{3}\, \cdot \dfrac{8}{3}\,\left( {\,\dfrac{8}{3}-4 + \dfrac{5}{3}} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-\dfrac{{40}}{9} \cdot \dfrac{1}{3} < 0.\)  Значит,  \(a = -\dfrac{5}{3}\)  подходит.

Второй случай:

\({x_1} = {x_3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-a + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = 1.\)

При  \(a = 1\)  первое неравенство примет вид:   \({x^2} + 8x \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,x \in \left[ {-8;0} \right],\)

а второе неравенство:  \(x\left( {x-5} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,x \in \left[ {0;5} \right].\)

Следовательно,  \(a = 1\)  подходит.

Третий случай:

\({x_1} = {x_4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-a + 1 = 4 + a\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = -\dfrac{3}{2}.\)

При  \(a = -\dfrac{3}{2}\)  первое неравенство примет вид:   \({x^2}-4,5x + 5 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,x \in \left[ {2;2,5} \right],\)

а второе неравенство:    \(-1,5x\left( {x-2,5} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,x \in \left( {-\infty ;0} \right] \cup \left[ {2,5;\infty } \right).\)

Следовательно,  \(a = -\dfrac{3}{2}\)  подходит.

Четвёртый случай:

\({x_2} = {x_3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-4a-4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = -1.\)

При  \(a = -1\)  первое неравенство примет вид:   \({x^2}-2x \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,x \in \left[ {0;2} \right],\)

а второе неравенство:   \(-x\left( {x-3} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,x \in \left( {-\infty ;0} \right] \cup \left[ {3;\infty } \right).\)

Следовательно,  \(a = -1\)  подходит.

Пятый случай:

\({x_2} = {x_4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-4a-4 = 4 + a\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = -\dfrac{8}{5}.\)

При  \(a = -\dfrac{8}{5}\)  первое неравенство примет вид:   \({x^2}-5x + \dfrac{{156}}{{25}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,x \in \left[ {\dfrac{{12}}{5};\dfrac{{13}}{5}} \right],\)

а второе неравенство:    \(-\dfrac{8}{5}x\left( {x-\dfrac{{12}}{5}} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,x \in \left( {-\infty ;0} \right] \cup \left[ {\dfrac{{12}}{5};\infty } \right).\)

Следовательно,  \(a = -\dfrac{8}{5}\)  не подходит.

Таким образом, одно решение неравенства  \({x^2} + \left( {5a + 3} \right)\,x + 4{a^2} \le 4\)  удовлетворяет неравенству  \(a\,x\,\left( {\,x-4-a} \right) \le 0\)  при  \(a = -\dfrac{5}{3};\,\,\,\;\;a = -\dfrac{3}{2};\,\,\,\;\;a = -1;\,\,\,\;\;a = 1.\)

Ответ:  \(-\dfrac{5}{3};\,\,\,\;\;-\dfrac{3}{2};\,\,\,\;\;-1;\,\,\,\;\;1.\)