Профиль №18. Квадратные неравенства с параметрами. Задача 23В

ОТВЕТ:  \(\left( {-\infty ;\,-\sqrt 3 } \right] \cup \left[ {\,\sqrt 7 ;\,\infty } \right).\)

\({x^2}-\left( {{a^2} + a} \right)x + {a^3} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-{a^2}x-ax + {a^3} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,x\left( {x-a} \right)-{a^2}\left( {x-a} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left( {x-a} \right)\left( {x-{a^2}} \right) \le 0.\)

В системе координат  xOa  построим графики функций:  \(x = a\)  и  \(x = {a^2}.\)

Решением неравенства будут являться заштрихованные области (см.рис.).

Множество решений исходного неравенства содержит пять целых решений при  \(a = \sqrt 7 \)  и  \(a = -\sqrt 3 .\)

Таким образом, множество решений исходного неравенства содержит не менее пяти целых чисел при  \(a \in \left( {-\infty ;\,-\sqrt 3 } \right] \cup \left[ {\,\sqrt 7 ;\,\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {-\infty ;\,-\sqrt 3 } \right] \cup \left[ {\,\sqrt 7 ;\,\infty } \right).\)