23В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество решений неравенства \({x^2}-\left( {{a^2} + a} \right)x + {a^3} \le 0\) содержит не менее пяти целых чисел.
\({x^2}-\left( {{a^2} + a} \right)x + {a^3} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-{a^2}x-ax + {a^3} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,x\left( {x-a} \right)-{a^2}\left( {x-a} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left( {x-a} \right)\left( {x-{a^2}} \right) \le 0.\) В системе координат xOa построим графики функций: \(x = a\) и \(x = {a^2}.\) Множество решений исходного неравенства содержит пять целых решений при \(a = \sqrt 7 \) и \(a = -\sqrt 3 .\) Таким образом, множество решений исходного неравенства содержит не менее пяти целых чисел при \(a \in \left( {-\infty ;\,-\sqrt 3 } \right] \cup \left[ {\,\sqrt 7 ;\,\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\,-\sqrt 3 } \right] \cup \left[ {\,\sqrt 7 ;\,\infty } \right).\)
Решением неравенства будут являться заштрихованные области (см.рис.).