24В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-12x + a \le 0,\,\,\,}\\{x \le 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) имеет хотя бы одно решение.
Введём функцию \(f\left( x \right) = {x^2}-12x + a,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Так как решение второго неравенства \(x \le 2\,,\) то для того чтобы система неравенств имела хотя бы одно решение, необходимо выполнение следующего условия (см. рис.): \(f\left( 2 \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4-24 + a \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \le 20.\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\,20} \right].\)
Найдём вершину параболы: \({x_{\rm{B}}} = \frac{{12}}{2} = 6.\)