Неравенству \({x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} < 4\) удовлетворяют все точки внутри окружности с центром \(\left( {0;-3} \right)\) и \(R = 2.\)
Если \(a = 0,\) то уравнение системы примет вид \(y = 0,\) графиком которой является прямая, совпадающая с осью абсцисс и не имеющая с окружностью общих точек, следовательно \(a = 0\) не подходит.
Если \(a > 0,\) то ветви параболы \(y = 2\,a\,{x^2}\) направлены вверх и она не имеет с окружностью общих точек (см. рис.).
Если \(a < 0,\) то ветви параболы \(y = 2\,a\,{x^2}\) направлены вниз и исходная система будет иметь хотя бы одно решение при пересечении параболы с окружностью. Для этого система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2} = 4,}\\{y = 2\,a\,{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) должна иметь 4 решения (пересечение параболы с окружностью в четырёх точках):
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2} = 4,}\\{y = 2\,a\,{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{y}{{2a}} + {y^2} + 6y + 5 = 0,}\\{{x^2} = \dfrac{y}{{2a}}.\,\,\,\,\,\,\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Так как \(a < 0,\) то уравнение \({x^2} = \dfrac{y}{{2a}}\) будет иметь решения, а исходная система 4 решения, если \(y < 0.\)
Рассмотрим первое уравнение последней системы:
\(\dfrac{y}{{2a}} + {y^2} + 6y + 5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2a{y^2} + \left( {12a + 1} \right)y + 10a = 0.\)
По теореме Виета: \({y_1} \cdot {y_2} = \dfrac{{10a}}{{2a}} = 5 > 0\). Следовательно, корни уравнения \(2a{y^2} + \left( {12a + 1} \right)y + 10a = 0\) будут отрицательными, если выполнятся следующие условия:
\(\left\{ \begin{array}{l}a < 0,\\D > 0,\\{y_1} + {y_2} < 0\end{array} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}a < 0,\\144{a^2} + 24a + 1-80{a^2} > 0,\\-\dfrac{{12a + 1}}{{2a}} < 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}a < 0,\\64{a^2} + 24a + 1 > 0,\end{array}\\{12a + 1 < 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}a \in \left( {-\infty ;0} \right),\\a \in \left( {-\infty ;\dfrac{{-3-\sqrt 5 }}{{16}}} \right) \cup \left( {\dfrac{{-3 + \sqrt 5 }}{{16}};\infty } \right),\end{array}\\{a \in \left( {-\infty ;\dfrac{1}{{12}}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\infty ;\dfrac{{-3-\sqrt 5 }}{{16}}} \right).\)
Ответ: \(\left( {-\infty ;\,\dfrac{{-3-\sqrt 5 }}{{16}}} \right).\)