25В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2} < 4,\,\,\,}\\{y = 2\,a\,{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) имеет хотя бы одно решение.
Неравенству \({x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} < 4\) удовлетворяют все точки внутри окружности с центром \(\left( {0;-3} \right)\) и \(R = 2.\) Если \(a = 0,\) то уравнение системы примет вид \(y = 0,\) графиком которой является прямая, совпадающая с осью абсцисс и не имеющая с окружностью общих точек, следовательно \(a = 0\) не подходит. Если \(a < 0,\) то ветви параболы \(y = 2\,a\,{x^2}\) направлены вниз и исходная система будет иметь хотя бы одно решение при пересечении или касании параболы с окружностью. Для этого система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2} = 4,}\\{y = 2\,a\,{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) должна иметь хотя бы одно решение: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2} = 4,}\\{y = 2\,a\,{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{y}{{2a}} + {y^2} + 6y + 5 = 0,}\\{{x^2} = \frac{y}{{2a}}.\,\,\,\,\,\,\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первое уравнение последней системы: \(\frac{y}{{2a}} + {y^2} + 6y + 5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2a{y^2} + \left( {12a + 1} \right)y + 10a = 0;\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D \ge 0,\;\;\;\;\;\;}\\{{y_1} \cdot {y_2} > 0,\,}\\{{y_1} + {y_2} < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{144{a^2} + 24a + 1-80{a^2} \ge 0,}\\{5 > 0,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{-\frac{{12a + 1}}{{2a}} < 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{64{a^2} + 24a + 1 > 0,}\\{12a + 1 < 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;\frac{{-3-\sqrt 5 }}{{16}}} \right) \cup \left( {\frac{{-3 + \sqrt 5 }}{{16}};\infty } \right),}\\{a \in \left( {-\infty ;\frac{1}{{12}}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\infty ;\frac{{-3-\sqrt 5 }}{{16}}} \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\,\frac{{-3-\sqrt 5 }}{{16}}} \right).\)
Если \(a > 0,\) то ветви параболы \(y = 2\,a\,{x^2}\) направлены вверх и она не имеет с окружностью общих точек (см. рис.).