26В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2\,a\,x \le 3{a^2}-8a + 4,}\\{{x^2} + 4\,a\,x > 2 + 5a-3{a^2}}\end{array}} \right.\) имеет хотя бы одно решение.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2\,a\,x \le 3{a^2}-8a + 4,}\\{{x^2} + 4\,a\,x > 2 + 5a-3{a^2}\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2\,a\,x-3{a^2} + 8a-4 \le 0,}\\{{x^2} + 4\,a\,x-2-5a + 3{a^2} > 0\,.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим уравнение \({x^2} + 2\,a\,x-3{a^2} + 8a-4 = 0:\) \({x^2} + 2\,a\,x-3{a^2} + 8a-4 = 0;\;\;\;\;D = 4{a^2} + 12{a^2}-32a + 16 = \) \( = 16{a^2}-32a + 16 = 16{\left( {a-1} \right)^2};\;\;\;\;{x_1} = a-2;\;\;\;\;{x_2} = -3a + 2.\) Введём функции \({f_1}\left( x \right) = {x^2} + 2\,a\,x-3{a^2} + 8a-4\) и \({f_2}\left( x \right) = {x^2} + 4\,a\,x-2-5a + 3{a^2}\) являющиеся параболами, ветви которых направлены вверх. Определим, при каких a система не имеет решений (см. рис.): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{f_2}\left( {{x_1}} \right) \le 0,}\\{{f_2}\left( {{x_2}} \right) \le 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{f_2}\left( {a-2} \right) = {a^2}-4a + 4 + 4{a^2}-8a-2-5a + 3{a^2} \le 0,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{f_2}\left( {2-3a} \right) = 4-12a + 9{a^2} + 8a-12{a^2}-2-5a + 3{a^2} \le 0\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8{a^2}-17a + 2 \le 0,}\\{-9a + 2 \le 0\;\;\;\;\,\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left[ {\frac{1}{8};2} \right],}\\{a \in \left[ {\frac{2}{9};\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left[ {\frac{2}{9};2} \right].\) Таким образом, при \(a \in \left[ {\frac{2}{9};2} \right]\) система неравенств не имеет решений, следовательно, при \(a \in \left( {-\infty ;\,\frac{2}{9}} \right) \cup \left( {\,2;\,\infty } \right)\) она имеет хотя бы одно решение. Ответ: \(\left( {-\infty ;\,\frac{2}{9}} \right) \cup \left( {\,2;\,\infty } \right).\)
Решение первого неравенства системы будет между корнями \({x_1}\) и \({x_2},\) а решение второго неравенства за его корнями.