27В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-\left( {3a + 1} \right)\,x + 2{a^2} + 3a-2 \le 0,}\\{{x^2}-5\,a\,x + 6{a^2} + a-1 \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) имеет хотя бы одно решение.
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\,\frac{3}{2}} \right].\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-\left( {3a + 1} \right)\,x + 2{a^2} + 3a-2 \le 0,}\\{{x^2}-5\,a\,x + 6{a^2} + a-1 \le 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Рассмотрим уравнение \({x^2}-\left( {3a + 1} \right)\,x + 2{a^2} + 3a-2 = 0:\) \({x^2}-\left( {3a + 1} \right)\,x + 2{a^2} + 3a-2 = 0;\;\;\;\;D = 9{a^2} + 6a + 1-8{a^2}-12a + 8 = \) \( = {a^2}-6a + 9 = {\left( {a-3} \right)^2};\;\;\;\;{x_1} = 2a-1;\;\;\;\;{x_2} = a + 2.\) Рассмотрим уравнение \({x^2}-5\,a\,x + 6{a^2} + a-1 = 0:\) \({x^2}-5\,a\,x + 6{a^2} + a-1 = 0;\;\;\;\;D = 25{a^2}-24{a^2}-4a + 4 = \) \( = {a^2}-4a + 4 = {\left( {a-2} \right)^2};\;\;\;\;{x_3} = 3a-1;\;\;\;\;{x_4} = 2a + 1.\) Решение каждого неравенства расположено между корнями. Определим, при каких значениях параметра a система неравенств не имеет решений. Так как \({x_1} < {x_4}\) при \(a \in R,\) то система не будет иметь решений, если: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2} \le {x_1},}\\{{x_3} > {x_1}\;}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2} < {x_4},}\\{{x_3} > {x_2}\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 2 \le 2a-1,}\\{3a-1 > 2a-1\;}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 2 < 2a + 1,}\\{3a-1 > a + 2\;}\end{array}\;} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ge 3,}\\{a > 0\;}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 1,}\\{a > \frac{3}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ge 3,}\\{a > \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {\frac{3}{2};\infty } \right).\) Таким образом, при \(a \in \left( {\frac{3}{2};\infty } \right)\) система неравенств не имеет решений, следовательно, при \(a \in \left( {-\infty ;\,\frac{3}{2}} \right]\) она имеет хотя бы одно решение. Ответ: \(\left( {-\infty ;\,\frac{3}{2}} \right].\)