28В. При каких значениях параметра b неравенство \({x^2} + \left( {2a + 4b} \right)x + 2{a^2}b + 4{b^2}-2ab-6b + 15 \le 0\) не имеет решений ни при одном значении параметра a?
ОТВЕТ: \(\left( {\frac{5}{7};\,1} \right).\)
Данное неравенство не имеет решений, если \(D < 0:\) \(D = 4{a^2} + 16ab + 16{b^2}-8{a^2}b-16{b^2} + 8ab + 24b-60 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {1-2b} \right) \cdot {a^2} + 6b \cdot a + 6b-15 < 0.\) Полученное неравенство выполнится при любых a и b, если: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1-2b < 0,}\\{{D_1} < 0\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b > \frac{1}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{9{b^2}-6b + 15 + 12{b^2}-30b < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b > \frac{1}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\\{7{b^2}-12b + 5 < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b > \frac{1}{2},\;\,\;\;\;}\\{b \in \left( {\frac{5}{7};1} \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;b \in \left( {\frac{5}{7};1} \right).\) Таким образом, при \(b \in \left( {\frac{5}{7};\,1} \right)\) исходное неравенство не имеет решений ни при одном значении параметра a. Ответ: \(\left( {\frac{5}{7};\,1} \right).\)