3В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \(4{x^2} + 2\left( {a-2} \right)\,x + {a^2} + 2a-8 < 0\) будет выполняться для любого значения x, принадлежащего интервалу \(\left( {0;\,2} \right).\)
Для того чтобы неравенство выполнялось для любого значения x, принадлежащего интервалу \(\left( {0;\,2} \right)\) (см. рис.), необходимо выполнение следующих условий: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 0 \right) \le 0,}\\{f\left( 2 \right) \le 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + 2a-8 \le 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{16 + 4a-8\, + {a^2} + 2a-8 \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + 2a-8 \le 0,}\\{{a^2} + 6a \le 0\,\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left[ {-4;2} \right],}\\{a \in \left[ {-6;0} \right]\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;a \in \left[ {-4;0} \right].\) Таким образом, неравенство будет выполняться для любого значения x, принадлежащего интервалу \(\left( {0;\,2} \right),\) при \(a \in \left[ {-4;0} \right].\) Ответ: \(\left[ {-4;\,0} \right].\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = 4{x^2} + 2\left( {a-2} \right)\,x + {a^2} + 2a-8,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Следовательно, решение исходного неравенства будет расположено между корнями квадратного трёхчлена \(4{x^2} + 2\left( {a-2} \right)\,x + {a^2} + 2a-8.\)