Задача 3. При каких значениях параметра а неравенство \(\left( {{a^2}-1} \right){x^2} + 2\left( {a-1} \right)\,x + 1 > 0\) выполняется при всех значениях x?
ОТВЕТ: \(\left[ {1;\,\infty } \right).\)
Если \({a^2}-1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a = \pm 1,\) то неравенство не будет являться квадратным. При \(a = 1\) неравенство примет вид \(0 \cdot {x^2} + 0 \cdot x + 1 > 0\), то есть \(1 > 0\), следовательно, оно выполняется при \(x\, \in \,R\), то есть \(a = 1\) подходит. При \(a = -1\) неравенство примет вид \(0 \cdot {x^2}-4x + 1 > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x < \frac{1}{4}\), то есть \(a = -1\) не подходит. Если \(a \ne \pm 1\), то исходное неравенство будет выполняться при \(x\, \in \,R\) в случае выполнения следующих условий: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}-1 > 0,}\\{D < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a-1} \right)\left( {a + 1} \right) > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{4{{\left( {a-1} \right)}^2}-4\left( {{a^2}-1} \right) < 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,} \right.\) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\, \in \,\left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right),\,\,}\\{{a^2}-2a + 1-{a^2} + 1 < 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\, \in \,\left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right),}\\{a\, \in \,\left( {1;\infty } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a\, \in \,\left( {1;\infty } \right).} \right.\) Таким образом, исходное неравенство выполняется при всех значениях x, если \(a\, \in \,\left[ {1;\infty } \right)\). ОТВЕТ: \(\left[ {1;\,\infty } \right).\)