4В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \(4{x^2}-2\left( {a-1} \right)\,x + {a^2} + 4a-5 < 0\) будет выполняться для любого значения x, принадлежащего интервалу \(\left( {-2;\,0} \right).\)
Для того чтобы неравенство выполнялось для любого значения x, принадлежащего интервалу \(\left( {-2;\,0} \right)\) (см. рис.), необходимо выполнение следующих условий: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-2} \right) \le 0,}\\{f\left( 0 \right) \le 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{16 + 4a-4\, + {a^2} + 4a-5 \le 0,}\\{{a^2} + 4a-5 \le 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + 8a + 7 \le 0,}\\{{a^2} + 4a-5 \le 0\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left[ {-7;-1} \right],}\\{a \in \left[ {-5;1} \right]\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;a \in \left[ {-5;-1} \right].\) Таким образом, неравенство будет выполняться для любого значения x, принадлежащего интервалу \(\left( {-2;\,0} \right),\) при \(a \in \left[ {-5;-1} \right].\) Ответ: \(\left[ {-5;\,-1} \right].\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = 4{x^2}-2\left( {a-1} \right)\,x + {a^2} + 4a-5,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Следовательно, решение исходного неравенства будет расположено между корнями квадратного трёхчлена \(4{x^2}-2\left( {a-1} \right)\,x + {a^2} + 4a-5.\)