Задача 4. При каких значениях параметра а неравенство \(\left( {{a^2}-4} \right){x^2} + 2\left( {a + 2} \right)\,x-1 < 0\) выполняется при всех значениях x?
ОТВЕТ: \(\left[ {-2;0} \right).\)
Если \({a^2}-4 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a = \pm 2,\) то неравенство не будет являться квадратным. При \(a = -2\) неравенство примет вид \(0 \cdot {x^2} + 0 \cdot x-1 < 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,-1 < 0,\) следовательно, оно выполняется при \(x\, \in \,R\), то есть \(a = -2\) подходит. При \(a = 2\) неравенство примет вид \(0 \cdot {x^2} + 8a-1 < 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x < \frac{1}{8}\), то есть \(a = 2\) не подходит. Если \(a \ne \pm 2\), то исходное неравенство будет выполняться при \(x\, \in \,R\) в случае выполнения следующих условий: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}-4 < 0,}\\{D < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a-2} \right)\left( {a + 2} \right) < 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{4{{\left( {a + 2} \right)}^2} + 4\left( {{a^2}-4} \right) < 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-2;\,2} \right),}\\{{a^2} + 2a < 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-2;\,2} \right),}\\{a \in \left( {-2;\,0} \right)\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a \in \left( {-2;\,0} \right).\) Таким образом, исходное неравенство выполняется при всех значениях x, если \(a\, \in \,\left[ {-2;0} \right)\). ОТВЕТ: \(\left[ {-2;0} \right).\)