5В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \(4\left( {a-3} \right){x^2}-2\left( {2a + 1} \right)\,x + a > 0\) имеет решения и любое его решение принадлежит отрезку \(\left[ {-2;\,2} \right].\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = 4\left( {a-3} \right){x^2}-2\left( {2a + 1} \right)\,x + a,\) графиком которой является парабола, если \(a \ne 3.\) Для того чтобы неравенство имело решения и любое его решение принадлежало отрезку \(\left[ {-2;\,2} \right]\) (см. рис.), необходимо выполнение следующих условий: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a-3 < 0,\;\;\;\;\,}\\{D > 0,\;\,\;\,\;\;\;\;\;}\end{array}}\\{-2 < {x_{\rm{B}}} < 2,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-2} \right) \le 0,\;\,}\\{f\left( 2 \right) \le 0\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{4\left( {4{a^2} + 4a + 1} \right)-16\left( {{a^2}-3a} \right) > 0,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{-2 < \frac{{2\left( {2a + 1} \right)}}{{8\left( {a-3} \right)}} < 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{16a-48 + 8a + 4 + a \le 0,\;\,\;\;\,\;\;\;\,\;\;\;\;\,}\\{16a-48-8a-4 + a \le 0\;\;\;\;\,\,\,\;\;\;\;\,\,\;\;\,}\end{array}}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{4{a^2} + 4a + 1-4{a^2} + 12a > 0,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2a + 1-8a + 24}}{{4\left( {a-3} \right)}} < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{\frac{{2a + 1 + 8a-24}}{{4\left( {a-3} \right)}} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{25a-44 \le 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{9a-52 \le 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{16a + 1 > 0,\;\;\,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{6a-25}}{{4\left( {a-3} \right)}} > 0,\,}\\{\frac{{10a-23}}{{4\left( {a-3} \right)}} > 0,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{25a-44 \le 0,}\\{9a-52 \le 0\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{a > -\frac{1}{{16}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{a \in \left( {-\infty ;3} \right) \cup \left( {\frac{{25}}{6};\infty } \right),}\end{array}}\\{a \in \left( {-\infty ;\frac{{23}}{{10}}} \right) \cup \left( {3;\infty } \right),}\end{array}}\\{a \in \left( {-\infty ;\frac{{44}}{{25}}} \right],\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}}\\{a \in \left( {-\infty ;\frac{{52}}{9}} \right]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\frac{1}{{16}};\frac{{44}}{{25}}} \right].\) Ответ: \(\left( {-\frac{1}{{16}};\,\frac{{44}}{{25}}} \right].\)
Если \(a-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = 3,\) то неравенство является линейным и оно примет вид \(-14\,x + 3 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x < \frac{3}{{14}},\) значит \(a = 3\) не подходит.