Задача 5. При каких значениях параметра а неравенство \(\left( {2a + 3} \right){x^2}-2a\,x + a-2 \geqslant 0\) не выполняется ни для одного значения x?
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\,-2} \right).\)
Если \(2a + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a = -\frac{3}{2}\), то неравенство примет вид: \(0 \cdot {x^2} + 3x-\frac{7}{2} \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x \ge \frac{7}{6}\), то есть \(a = -\frac{3}{2}\) не подходит. Если \(a \ne -\frac{3}{2}\), то исходное неравенство не выполняется ни для одного значения x в случае выполнения следующих условий: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a + 3 < 0,\,}\\{D < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < -\frac{2}{3},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{4{a^2}-4\left( {2a + 3} \right)\left( {a-2} \right) < 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < -\frac{2}{3},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{a^2}-a-6 > 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\, \in \,\left( {-\infty ;-\frac{3}{2}} \right),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a\, \in \,\left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {3;\infty } \right)\,}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a\, \in \,\left( {-\infty ;-2} \right).} \right.\) Следовательно, неравенство не выполняется ни для одного значения x, при \(a\, \in \,\left( {-\infty ;-2} \right)\). ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\,-2} \right).\)