6В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \(9\left( {a-1} \right){x^2}-3\left( {2a + 5} \right)\,x + a + 2 > 0\) имеет решения и любое его решение принадлежит отрезку \(\left[ {-3;\,3} \right].\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = 9\left( {a-1} \right){x^2}-3\left( {2a + 5} \right)\,x + a + 2,\) графиком которой является парабола, если \(a \ne 1.\) Для того чтобы неравенство имело решения и любое его решение принадлежало отрезку \(\left[ {-3;\,3} \right]\) (см. рис.), необходимо выполнение следующих условий: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a-1 < 0,\;\;\;\;\,}\\{D > 0,\;\,\;\,\;\;\;\;\;}\end{array}}\\{-3 < {x_{\rm{B}}} < 3,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-3} \right) \le 0,\;\,}\\{f\left( 3 \right) \le 0\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{9\left( {4{a^2} + 20a + 25} \right)-36\left( {{a^2} + a-2} \right) > 0,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{-3 < \frac{{3\left( {2a + 5} \right)}}{{18\left( {a-1} \right)}} < 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{81a-81 + 18a + 45 + a + 2 \le 0,\;\,\;\;\,\;\;\;\,\;\;\;\;\,}\\{81a-81-18a-45 + a + 2 \le 0\;\;\;\;\,\,\,\;\;\;\;\,\,\;\;\,}\end{array}}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{4{a^2} + 20a + 25-4{a^2}-4a + 8 > 0,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2a + 5-18a + 18}}{{18\left( {a-1} \right)}} < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{\frac{{2a + 5 + 18a-18}}{{18\left( {a-1} \right)}} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{100a-34 \le 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{64a-124 \le 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{16a + 33 > 0,\;\,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{16a-23}}{{18\left( {a-1} \right)}} > 0,\;}\\{\frac{{20a-13}}{{18\left( {a-1} \right)}} > 0,\;}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{100a-34 \le 0,}\\{64a-124 \le 0\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{a > -\frac{{33}}{{16}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{a \in \left( {-\infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{{23}}{{16}};\infty } \right),}\end{array}}\\{a \in \left( {-\infty ;\frac{{13}}{{20}}} \right) \cup \left( {1;\infty } \right),\,}\end{array}}\\{a \in \left( {-\infty ;0,34} \right],\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\;}\end{array}}\\{a \in \left( {-\infty ;\frac{{31}}{{16}}} \right]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\frac{{33}}{{16}};0,34} \right].\) Ответ: \(\left( {-\frac{{33}}{{16}};\,0,34} \right].\)
Если \(a-1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = 1,\) то неравенство является линейным и оно примет вид \(-21x + 3 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x < \frac{1}{7},\) значит \(a = 1\) не подходит.