Задача 6. При каких значениях параметра а неравенство  \(\left( {a-3} \right){x^2}-2a\,x + 3a-6 \geqslant 0\)  не выполняется ни для одного значения x?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\,\frac{3}{2}} \right).\)

Решение

Если  \(a-3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a = 3,\)  то неравенство примет вид: \(0 \cdot {x^2}-6x + 9-6 \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x \le \frac{1}{2},\)  то есть  \(a = 3\)  не подходит.

Если \(a \ne 3\), то исходное неравенство не выполняется ни для одного значения x в случае выполнения следующих условий:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a-3 < 0,\,}\\{D < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 3,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{4{a^2}-4\left( {a-3} \right)\left( {3a-6} \right) < 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 3,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{2{a^2}-15a + 18 > 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\, \in \,\left( {-\infty ;3} \right),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a\, \in \,\left( {-\infty ;\frac{3}{2}} \right) \cup \left( {6;\infty } \right)\,}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a\, \in \,\left( {-\infty ;\frac{3}{2}} \right).} \right.\)

Следовательно, неравенство не выполняется ни для одного значения x, при \(a\, \in \,\left( {-\infty ;\frac{3}{2}} \right)\).

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\,\frac{3}{2}} \right).\)