7В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \(\left( {a-3} \right){x^2}-2\left( {2a-1} \right)\,x + 4a-4 > 0\) имеет решения и любое его решение принадлежит отрезку \(\left[ {-0,5;\,0,5} \right].\)
ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{{11}}{{12}};\,\dfrac{{23}}{{25}}} \right].\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = \left( {a-3} \right){x^2}-2\left( {2a-1} \right)\,x + 4a-4,\) графиком которой является парабола, если \(a \ne 3.\) Для того чтобы неравенство имело решения и любое его решение принадлежало отрезку \(\left[ {-0,5;\,0,5} \right]\) (см. рис.), необходимо выполнение следующих условий: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a-3 < 0,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,}\\{D > 0,\;\,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\\{-0,5 < {x_{\rm{B}}} < 0,5,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-0,5} \right) \le 0,\;\,\;\;\;}\\{f\left( {0,5} \right) \le 0\;\;\;\;\,\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{4\left( {4{a^2}-4a + 1} \right)-16\left( {{a^2}-4a + 3} \right) > 0,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{-0,5 < \dfrac{{2\left( {2a-1} \right)}}{{2\left( {a-3} \right)}} < 0,5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{4}a-\dfrac{3}{4} + 2a-1 + 4a-4 \le 0,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\\{\dfrac{1}{4}a-\dfrac{3}{4}-2a + 1 + 4a-4 \le 0\;\,\,\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{4{a^2}-4a + 1-4{a^2} + 16a-12 > 0,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{4a-2-a + 3}}{{2\left( {a-3} \right)}} < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{\dfrac{{4a-2 + a-3}}{{2\left( {a-3} \right)}} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{25a-23 \le 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{3a-5 \le 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{12a-11 > 0,\;\;\;\;\;\,\;\,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{3a + 1}}{{2\left( {a-3} \right)}} < 0,\;\;\;\;\;\;\,}\\{\dfrac{{5a-5}}{{2\left( {a-3} \right)}} > 0,\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{25a-23 \le 0,\;\;\;\;\;\;\,}\\{3a-5 \le 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{a > \dfrac{{11}}{{12}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{a \in \left( {-\dfrac{1}{3};3} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{a \in \left( {-\infty ;1} \right) \cup \left( {3;\infty } \right),}\end{array}}\\{a \in \left( {-\infty ;\dfrac{{23}}{{25}}} \right],\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}}\\{a \in \left( {-\infty ;\dfrac{5}{3}} \right]\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {\dfrac{{11}}{{12}};\,\dfrac{{23}}{{25}}} \right].\) Ответ: \(\left( {\dfrac{{11}}{{12}};\,\dfrac{{23}}{{25}}} \right].\) 
Если \(a-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = 3,\) то неравенство является линейным и оно примет вид \(-10x + 8 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x < 0,8,\) значит \(a = 3\) не подходит.