Квадратные неравенства с параметрами. Задача 7А

Задача 7. Решите неравенство при всех значениях параметра а: \({x^2}-3\,a\,x + 2{a^2} \geqslant 0.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(x \in \left( {-\infty ;\,2a} \right] \cup \left[ {a;\,\infty } \right)\) при \(a \in \left( {-\infty ;\,0} \right);\) \(x \in R\) при \(a = 0;\) \(x \in \left( {-\infty ;\,a} \right] \cup \left[ {2a;\,\infty } \right)\) при \(a \in \left( {0;\,\infty } \right).\)

Решение

Найдём дискриминант: \(D = 9{a^2}-8{a^2} = {a^2}.\)

Если \(D = {a^2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a = 0,\) то \({x^2} \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x \in R\).

Если \(a \ne 0\), то \({x_1} = \frac{{3a-a}}{2} = a;\,\,\,\,\,{x_2} = 2a.\)

Если \(a > 0\) (то есть \({x_2} > {x_1}\)), то решение неравенства будет иметь вид \(x\, \in \,\left( {-\infty ;a} \right] \cup \left[ {2a;\infty } \right).\)

Если \(a < 0\) (то есть \({x_1} > {x_2}\)), то решение неравенства будет иметь вид \(x\, \in \,\left( {-\infty ;2a} \right] \cup \left[ {a;\infty } \right).\)