8В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \(\left( {a-5} \right){x^2}-\left( {2a-3} \right)\,x + a-2 > 0\) имеет решения и любое его решение принадлежит отрезку \(\left[ {-0,25;\,0,25} \right].\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = \left( {a-5} \right){x^2}-\left( {2a-3} \right)\,x + a-2,\) графиком которой является парабола, если \(a \ne 5.\) Для того чтобы неравенство имело решения и любое его решение принадлежало отрезку \(\left[ {-0,25;\,0,25} \right]\) (см. рис.), необходимо выполнение следующих условий: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a-5 < 0,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,}\\{D > 0,\;\,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\\{-0,25 < {x_{\rm{B}}} < 0,25,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-0,25} \right) \le 0,\;\,\;\;\;\;\;}\\{f\left( {0,25} \right) \le 0\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\left( {4{a^2}-12a + 9} \right)-4\left( {{a^2}-7a + 10} \right) > 0,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{-\frac{1}{4} < \frac{{2a-3}}{{2\left( {a-5} \right)}} < \frac{1}{4},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{16}}a-\frac{5}{{16}} + \frac{a}{2}-\frac{3}{4} + a-2 \le 0,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{\frac{1}{{16}}a-\frac{5}{{16}}-\frac{a}{2} + \frac{3}{4} + a-2 \le 0\;\,\,\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{4{a^2}-12a + 9-4{a^2} + 28a-40 > 0,\,}\end{array}}\\{\frac{{4a-6-a + 5}}{{2\left( {a-5} \right)}} < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\end{array}}\\{\frac{{4a-6 + a-5}}{{2\left( {a-5} \right)}} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\,}\end{array}}\\{\frac{{25}}{{16}}a-\frac{{49}}{{16}} \le 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}}\\{\frac{9}{{16}}a-\frac{{25}}{{16}} \le 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{16a-31 > 0,\;}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{3a-1}}{{2\left( {a-5} \right)}} < 0,\,}\\{\frac{{5a-11}}{{2\left( {a-5} \right)}} > 0,\;}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{25a-49 \le 0,\,}\\{9a-25 \le 0\,\,\,\,\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{a > \frac{{31}}{{16}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{a \in \left( {\frac{1}{3};5} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{a \in \left( {-\infty ;\frac{{11}}{5}} \right) \cup \left( {5;\infty } \right),\,}\end{array}}\\{a \in \left( {-\infty ;\frac{{49}}{{25}}} \right],\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\end{array}}\\{a \in \left( {-\infty ;\frac{{25}}{9}} \right]\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {\frac{{31}}{{16}};\,\frac{{49}}{{25}}} \right].\) Ответ: \(\left( {\frac{{31}}{{16}};\,\frac{{49}}{{25}}} \right].\)
Если \(a-5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = 5,\) то неравенство является линейным и оно примет вид \(-7x + 3 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x < \frac{3}{7},\) значит \(a = 5\) не подходит.