9В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \({x^2} + {a^2}\,x-2a-4 < 0\) выполняется при всех \(x \in \left[ {0;\,1} \right].\)
Чтобы исходное неравенство выполнялось при всех \(x \in \left[ {0;\,1} \right]\) (см. рис.), необходимо выполнение следующих условий: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 0 \right) < 0,}\\{f\left( 1 \right) < 0\;\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2a-4 < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{1 + {a^2}-2a-4 < 0}\end{array}\;\;\;\;} \right. \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a > -4,\;\,\;\;\;\;\;\;\;}\\{{a^2}-2a-3 < 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-2;\infty } \right),}\\{a \in \left( {-1;3} \right)\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-1;3} \right).\) Ответ: \(\left( {-1;\,3} \right).\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = {x^2} + {a^2}\,x-2a-4,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Следовательно, решение исходного неравенства будет расположено между корнями квадратного трёхчлена \({x^2} + {a^2}\,x-2a-4.\)