Квадратные неравенства с параметрами. Задача 9А

Задача 9. Решите неравенство при всех значениях параметра а: \(a\,{x^2}-2x + 1 > 0.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(x \in \left( {\frac{{1 + \sqrt {1-a} }}{a};\,\frac{{1-\sqrt {1-a} }}{a}} \right)\) при \(a \in \left( {-\infty ;\,0} \right);\) \(x \in \left( {-\infty ;\,\frac{1}{2}} \right)\) при \(a = 0;\) \(x \in \left( {-\infty ;\,\frac{{1-\sqrt {1-a} }}{a}} \right) \cup \left( {\frac{{1 + \sqrt {1-a} }}{a};\,\infty } \right)\) при \(a \in \left( {\,0;\,1} \right];\) \(x \in R\) при \(a \in \left( {\,1;\,\infty } \right).\)

Решение

Если \(a = 0\), то неравенство примет вид:

\(-2x + 1 > 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x < \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\, \in \,\left( {-\infty ;\frac{1}{2}} \right).\)

Если \(a \ne 0\), то: \(D = 4-4a\). Тогда:

\({x_1} = \frac{{1-\sqrt {1-a} }}{a};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = \frac{{1 + \sqrt {1-a} }}{a}.\)

Если \(a < 0\), то \(D > 0\) и графиком функции \(f\left( x \right) = a\,{x^2}-2x + 1\) является парабола ветвями направленными вниз и пересекающей ось абсцисс в двух точках. Следовательно, решение неравенства \(a\,{x^2}-2x + 1 > 0\) будет иметь вид: \(x\, \in \,\left( {\frac{{1 + \sqrt {1-a} }}{a};\frac{{1-\sqrt {1-a} }}{a}} \right).\)

Если \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{D = 4-4a \ge 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,}\\{a \le 1\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a\, \in \,\left( {0;1} \right],\) то графиком функции \(f\left( x \right) = a\,{x^2}-2x + 1\) является парабола ветвями направленными вверх, которая пересекает ось абсцисс в двух точках, если \(D > 0\) и касается её, если \(D = 0\).

Поэтому решение неравенства \(a\,{x^2}-2x + 1 > 0\) при \(a\, \in \,\left( {0;1} \right]\) будет иметь вид:

\(x\, \in \,\left( {-\infty ;\frac{{1-\sqrt {1-a} }}{a}} \right) \cup \left( {\frac{{1 + \sqrt {1-a} }}{a}\infty } \right).\)

Если \(a > 1\), то есть \(D < 0\), то график параболы \(f\left( x \right) = a\,{x^2}-2x + 1\) будет расположен выше оси абсцисс. Следовательно, решением неравенства \(a\,{x^2}-2x + 1 > 0\) будет \(x\, \in \,R\).