Профиль №18. Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена. Задача 1Вmath100admin44242024-03-28T17:43:06+03:00
1В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \(a\log _3^2x-\left( {a-2} \right){\log _3}x-2 \ge 0\) имеет единственное решение.
Решение
Пусть \({\log _3}x = t,\;\;\;\;t \in R.\) Тогда неравенство примет вид:
\(a{t^2}-\left( {a-2} \right)t-2 \ge 0.\)
Если полученное неравенство имеет единственное решение, то и исходное неравенство будет иметь одно решение.
Неравенство \(a{t^2}-\left( {a-2} \right)t-2 \ge 0\) будет иметь единственное решение, если:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,}\\{D = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{a^2} + 4a + 4 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{{{\left( {a + 2} \right)}^2} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a = -2.\)
Ответ: \(-2.\)