1В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство  \(a\log _3^2x-\left( {a-2} \right){\log _3}x-2 \ge 0\)  имеет единственное решение.

Ответ

ОТВЕТ:  \(-2.\)

Решение

Пусть  \({\log _3}x = t,\;\;\;\;t \in R.\)  Тогда неравенство примет вид:

\(a{t^2}-\left( {a-2} \right)t-2 \ge 0.\)

Если полученное неравенство имеет единственное решение, то и исходное неравенство будет иметь одно решение.

Неравенство  \(a{t^2}-\left( {a-2} \right)t-2 \ge 0\)  будет иметь единственное решение, если:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,}\\{D = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{a^2} + 4a + 4 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{{{\left( {a + 2} \right)}^2} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a = -2.\)

Ответ:  \(-2.\)