10В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(2\cos 2x-4a\cos x + {a^2} + 2 = 0\) не имеет корней.
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right)\).
Так как \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x-1,\) то исходное уравнение примет вид: \(4{\cos ^2}x-2-4a\cos x + {a^2} + 2 = 0.\) Пусть \(\cos x = t,\;\;\;\;t \in \left[ {-1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид: \(4{t^2}-4at + {a^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{\left( {2t-a} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,t = \frac{a}{2}.\) Исходное уравнение не будет иметь корней, если: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{2} < -1,}\\{\frac{a}{2} > 1\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < -2,}\\{a > 2\;\;}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a\left( {-\infty ;\,-2} \right) \cup \left( {2;\,\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right)\).