10В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение  \(2\cos 2x-4a\cos x + {a^2} + 2 = 0\)  не имеет корней.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right)\).

Решение

Так как  \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x-1,\) то  исходное уравнение примет вид:

\(4{\cos ^2}x-2-4a\cos x + {a^2} + 2 = 0.\)

Пусть  \(\cos x = t,\;\;\;\;t \in \left[ {-1;1} \right].\)  Тогда уравнение примет вид:

\(4{t^2}-4at + {a^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{\left( {2t-a} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,t = \frac{a}{2}.\)

Исходное уравнение не будет иметь корней, если:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{2} < -1,}\\{\frac{a}{2} > 1\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < -2,}\\{a > 2\;\;}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a\left( {-\infty ;\,-2} \right) \cup \left( {2;\,\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right)\).