11В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({4^{\sin x}} + a \cdot {2^{\sin x}} + {a^2}-1 = 0\) не имеет корней.
Пусть \({2^{\sin x}} = t,\;\;\;\;t \in \left[ {\frac{1}{2};2} \right].\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2} + at + {a^2}-1 = 0.\) Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2} + at + {a^2}-1,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Рассмотрим первый случай (см. рис. 1): \(\frac{1}{2} \le {t_1} \le {t_2} \le 2.\) \(\left\{ \begin{array}{l}D \ge 0,\\\frac{1}{2} \le {t_{\rm{B}}} \le 2,\\f\left( {\frac{1}{2}} \right) \ge 0,\\f\left( 2 \right) \ge 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ \begin{array}{l}4-3{a^2} \ge 0\,,\\\frac{1}{2} \le -\frac{a}{2} \le 2,\\{a^2} + \frac{a}{2}-\frac{3}{4} \ge 0,\\{a^2} + 2a + 3 \ge 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ \begin{array}{l}\left( {2-\sqrt 3 a} \right)\left( {2 + \sqrt 3 a} \right) \ge 0\,,\\-4 \le a \le 1,\\4{a^2} + 2a-3 \ge 0,\\{a^2} + 2a + 3 \ge 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ \begin{array}{l}a \in \left[ {-\frac{2}{{\sqrt 3 }};\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right]\,,\\a \in \left[ {-4;-1} \right],\\a \in \left( {-\infty ;\frac{{-1-\sqrt {13} }}{4}} \right] \cup \left[ {\frac{{-1 + \sqrt {13} }}{4};\infty } \right),\\a \in R\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left[ {-\frac{2}{{\sqrt 3 }};\frac{{-1-\sqrt {13} }}{4}} \right].\) \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( {\frac{1}{2}} \right) \le 0,\\f\left( 2 \right) \ge 0.\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( {\frac{1}{2}} \right) \ge 0,\\f\left( 2 \right) \le 0.\end{array} \right.\) Объединим второй и третий случаи: \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) \cdot f\left( 2 \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left( {{a^2} + \frac{a}{2}-\frac{3}{4}} \right)\left( {{a^2} + 2a + 3} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left[ {\frac{{-1-\sqrt {13} }}{4};\frac{{-1 + \sqrt {13} }}{4}} \right].\) Объединяя все 3 случая получим, что уравнение \({4^{\sin x}} + a \cdot {2^{\sin x}} + {a^2}-1 = 0\) имеет решение при \(a \in \left[ {-\frac{2}{{\sqrt 3 }};\frac{{-1 + \sqrt {13} }}{4}} \right].\) Таким образом, при \(a \in \left( {-\infty ;\,-\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt {13} -1}}{4};\,\infty } \right)\) исходное уравнение не имеет корней. Ответ: \(\left( {-\infty ;\,-\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt {13} -1}}{4};\,\infty } \right).\)
Исходное уравнение имеет решение, если уравнение \({t^2} + at + {a^2}-1 = 0\) имеет хотя бы одно решение \(t \in \left[ {\frac{1}{2};2} \right]\) в следующих случаях.
Рассмотрим второй случай (см. рис. 2): \({t_1} \le \frac{1}{2},\,\,\,\,\frac{1}{2} \le {t_2} \le 2.\)
Рассмотрим третий случай (см. рис. 3): \(\frac{1}{2} \le {t_1} \le 2,\,\,\,\,\,{t_2} \ge 2.\)