12В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({25^{{x^2}}}-2\left( {a + 1} \right)\,{5^{{x^2}}} + 9a-5 = 0\) имеет четыре различных решения.
Пусть \({5^{{x^2}}} = t,\;\;\;\;t \ge 1.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2}-2\left( {a + 1} \right)t + 9a-5 = 0.\) Если \(t = 1,\) то уравнение \({5^{{x^2}}} = t\) будет иметь один корень \(x = 0.\) Если \(t > 1,\) то уравнение \({5^{{x^2}}} = t\) будет иметь 2 различных корня. Для того чтобы исходное уравнение имело четыре различных решения, необходимо, чтобы уравнение \({t^2}-2\left( {a + 1} \right)t + 9a-5 = 0\) имело два различных корня больше единицы (см. рис.), что возможно при выполнении следующих условий: \(\left\{ \begin{array}{l}D > 0,\\{t_{\rm{B}}} > 1,\\f\left( 1 \right) > 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ \begin{array}{l}4{a^2}-28a + 24 > 0,\\a + 1 > 1,\\1-2a-2 + 9a-5 > 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ \begin{array}{l}{a^2}-7a + 6 > 0,\\a > 0,\\7a > 6\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;1} \right) \cup \left( {6;\infty } \right),}\\{a \in \left( {0;\infty } \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{a \in \left( {\frac{6}{7};\infty } \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {\frac{6}{7};1} \right) \cup \left( {6;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {\frac{6}{7};1} \right) \cup \left( {6;\infty } \right)\).
Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2}-2\left( {a + 1} \right)t + 9a-5,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх.