13В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство  \(\frac{{2\,a\,x + a\left( {1-2a} \right)}}{{2{a^2} + 2\,a\,x-1}} < 0\)  выполняется для любых значений переменной x из отрезка \(\left[ {\,-2;\,2} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\frac{{-2-\sqrt 6 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{5}{2};\infty } \right)\).

Решение

Исходное неравенство равносильно неравенству:

\(\left( {2ax + a-2{a^2}} \right)\left( {2ax + 2{a^2}-1} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4{a^2}{x^2} + \left( {-2a + 2{a^2}} \right)x-4{a^4} + 2{a^3} + 2{a^2}-a < 0.\)

Если  \(a = 0,\)  неравенство не имеет решений, значит  \(a = 0\)  не подходит.

Введём функцию  \(f\left( x \right) = \left( {2ax + a-2{a^2}} \right)\left( {2ax + 2{a^2}-1} \right),\)  графиком которой является парабола ветвями направленными вверх, если  \(a \ne 0.\)

Для того чтобы исходное неравенство выполнялось для любых значений переменной  x  из отрезка  \(\left[ {\,-2;\,2} \right]\)  (см. рис.), необходимо выполнение следующих условий:

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( {-2} \right) < 0,\\f\left( 2 \right) < 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {-3a-2{a^2}} \right)\left( {2{a^2}-4a-1} \right) < 0,}\\{\left( {5a-2{a^2}} \right)\left( {2{a^2} + 4a-1} \right) < 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\left( {3 + 2a} \right)\left( {a-\frac{{2-\sqrt 6 }}{2}} \right)\left( {a-\frac{{2 + \sqrt 6 }}{2}} \right) > 0,\,\,\,}\\{a\left( {2a-5} \right)\left( {a-\frac{{-2-\sqrt 6 }}{2}} \right)\left( {a-\frac{{-2 + \sqrt 6 }}{2}} \right) > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;-\frac{3}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{2-\sqrt 6 }}{2};0} \right) \cup \left( {\frac{{2 + \sqrt 6 }}{2};\infty } \right),\,}\\{a \in \left( {-\infty ;\frac{{-2-\sqrt 6 }}{2}} \right) \cup \left( {0;\frac{{-2 + \sqrt 6 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{5}{2};\infty } \right)\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\infty ;\frac{{-2-\sqrt 6 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{5}{2};\infty } \right).\)

Ответ: \(\left( {-\infty ;\frac{{-2-\sqrt 6 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{5}{2};\infty } \right)\).