14В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство  \(\frac{{6\,a\,x-a\left( {2-a} \right)}}{{{a^2}-6\,a\,x-8}} > 0\)  выполняется для любых значений переменной x из отрезка \(\left[ {\,-3;\,3} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;-9-\sqrt {89} } \right) \cup \left( {20;\infty } \right).\)

Решение

Исходное неравенство равносильно неравенству:

\(\left( {6ax + {a^2}-2a} \right)\left( {-6ax + {a^2}-8} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;-36{a^2}{x^2} + \left( {-48a + 12{a^2}} \right)x + {a^4}-2{a^3}-8{a^2} + 16 > 0.\)

Если  \(a = 0,\)  неравенство не имеет решения, значит  \(a = 0\)  не подходит.

Введём функцию  \(f\left( x \right) = \left( {6ax + {a^2}-2a} \right)\left( {-6ax + {a^2}-8} \right),\)  графиком которой является парабола ветвями направленными вниз, если  \(a \ne 0.\)

Для того чтобы исходное неравенство выполнялось для любых значений переменной  x  из отрезка  \(\left[ {\,-3;\,3} \right]\)  (см. рис.), необходимо выполнение следующих условий:

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( {-3} \right) > 0,\\f\left( 3 \right) > 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {-20a + {a^2}} \right)\left( {{a^2} + 18a-8} \right) > 0,}\\{\left( {16a + {a^2}} \right)\left( {{a^2}-18a-8} \right) > 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\left( {a-20} \right)\left( {a + 9 + \sqrt {89} } \right)\left( {a + 9-\sqrt {89} } \right) > 0,}\\{a\left( {a + 16} \right)\left( {a-9 + \sqrt {89} } \right)\left( {a-9-\sqrt {89} } \right) > 0\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;-9-\sqrt {89} } \right) \cup \left( {0;-9 + \sqrt {89} } \right) \cup \left( {20;\infty } \right),}\\{a \in \left( {-\infty ;-16} \right) \cup \left( {9-\sqrt {89} ;0} \right) \cup \left( {9 + \sqrt {89} ;\infty } \right)\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\infty ;-9-\sqrt {89} } \right) \cup \left( {20;\infty } \right).\)

Ответ: \(\left( {-\infty ;-9-\sqrt {89} } \right) \cup \left( {20;\infty } \right).\)