Пусть \(\lg \left( {3{x^2} + 6x + 4} \right) = t.\)
Рассмотрим функцию \(y = 3{x^2} + 6x + 4,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх, значит, её наименьшее значение находится в вершине: \({x_{\rm{B}}} = -\dfrac{6}{6} = -1.\)
\(y\left( {-1} \right) = 3-6 + 4 = 1;\;\;\;\;\,\lg 1 = 0.\) Следовательно, \(t \ge 0\).
Исходное уравнение после замены примет вид:
\({t^2} + \left( {5{a^2}-a + 4} \right)t-a-2 = 0.\)
Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2} + \left( {5{a^2}-a + 4} \right)t-a-2,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх.
Так как \(t \ge 0\), то исходное уравнение будет иметь хотя бы один корень, если уравнение \({t^2} + \left( {5{a^2}-a + 4} \right)t-a-2 = 0\) будет иметь хотя бы один корень \(t \ge 0.\)
Заметим, что \({t_{\rm{B}}} = -\dfrac{{5{a^2}-a + 4}}{2} < 0\) функции \(f\left( t \right)\) при \(a \in R\).
Поэтому уравнение \({t^2} + \left( {5{a^2}-a + 4} \right)t-a-2 = 0\) будет иметь неотрицательный корень (см. рис.) при выполнении следующего условия:
\(f\left( 0 \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,-a-2 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left[ {-2;\infty } \right).\)
Ответ: \(\left[ {-2;\infty } \right).\)