16В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({\lg ^2}\left( {5{x^2}-10x + 6} \right) + \left( {3{a^2}-5a + 6} \right)\lg \left( {5{x^2}-10x + 6} \right)-4a + 3 = 0\) имеет хотя бы один корень.
Пусть \(\lg \left( {5{x^2}-10x + 6} \right) = t.\) Рассмотрим функцию \(y = 5{x^2}-10x + 6,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх, значит, её наименьшее значение находится в вершине \({x_{\rm{B}}} = \frac{{10}}{{10}} = 1.\) \(y\left( 1 \right) = 5-10 + 6 = 1;\;\;\;\;\,\lg 1 = 0.\) Следовательно, \(t \ge 0\). Исходное уравнение после замены примет вид: \({t^2} + \left( {3{a^2}-5a + 6} \right)t-4a + 3 = 0.\) Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2} + \left( {3{a^2}-5a + 6} \right)t-4a + 3,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Так как \(t \ge 0\), то исходное уравнение будет иметь хотя бы один корень, если уравнение \({t^2} + \left( {3{a^2}-5a + 6} \right)t-4a + 3 = 0\) будет иметь хотя бы один корень \(t \ge 0.\) Поэтому уравнение \({t^2} + \left( {3{a^2}-5a + 6} \right)t-4a + 3 = 0\) будет иметь неотрицательный корень (см. рис.) при выполнении следующего условия: \(f\left( 0 \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,-4a + 3 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left[ {\frac{3}{4};\infty } \right).\) Ответ: \(\left[ {\frac{3}{4};\infty } \right)\).
Заметим, что \({t_{\rm{B}}} = -\frac{{3{a^2}-5a + 6}}{2} < 0\) функции \(f\left( t \right)\) при \(a \in R\).