Пусть \(\lg \left( {5{x^2}-10x + 6} \right) = t.\)
Рассмотрим функцию \(y = 5{x^2}-10x + 6,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх, значит, её наименьшее значение находится в вершине \({x_{\rm{B}}} = \dfrac{{10}}{{10}} = 1.\)
\(y\left( 1 \right) = 5-10 + 6 = 1;\;\;\;\;\,\lg 1 = 0.\) Следовательно, \(t \ge 0\).
Исходное уравнение после замены примет вид:
\({t^2} + \left( {3{a^2}-5a + 6} \right)t-4a + 3 = 0.\)
Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2} + \left( {3{a^2}-5a + 6} \right)t-4a + 3,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх.
Так как \(t \ge 0\), то исходное уравнение будет иметь хотя бы один корень, если уравнение \({t^2} + \left( {3{a^2}-5a + 6} \right)t-4a + 3 = 0\) будет иметь хотя бы один корень \(t \ge 0.\)
Заметим, что \({t_{\rm{B}}} = -\dfrac{{3{a^2}-5a + 6}}{2} < 0\) функции \(f\left( t \right)\) при \(a \in R\).
Поэтому уравнение \({t^2} + \left( {3{a^2}-5a + 6} \right)t-4a + 3 = 0\) будет иметь неотрицательный корень (см. рис.) при выполнении следующего условия:
\(f\left( 0 \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,-4a + 3 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left[ {\dfrac{3}{4};\infty } \right).\)
Ответ: \(\left[ {\dfrac{3}{4};\infty } \right)\).