Пусть \({\log _5}\left( {4{x^2} + 1} \right) = t.\)
Так как \(4{x^2} + 1 \ge 1\) при \(x \in R\), то \(t \ge 0.\)
Исходное уравнение после замены примет вид:
\({t^2} + \left( {2{a^2}-3a + 4} \right)t + 9{a^2}-{a^4} = 0.\)
Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2} + \left( {2{a^2}-3a + 4} \right)t + 9{a^2}-{a^4},\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх.
Так как \(t \ge 0\), то исходное уравнение будет иметь хотя бы один корень, если уравнение \({t^2} + \left( {2{a^2}-3a + 4} \right)t + 9{a^2}-{a^4} = 0\) будет иметь хотя бы один корень \(t \ge 0.\)
Заметим, что \({t_{\rm{B}}} = -\dfrac{{2{a^2}-3a + 4}}{2} < 0\) функции \(f\left( t \right)\) при \(a \in R\).
Поэтому уравнение \({t^2} + \left( {2{a^2}-3a + 4} \right)t + 9{a^2}-{a^4} = 0\) будет иметь неотрицательный корень (см. рис.) при выполнении следующего условия:
\(f\left( 0 \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,9{a^2}-{a^4} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{a^2}\left( {a-3} \right)\left( {a + 3} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {-\infty ;-3} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {3;\infty } \right).\)
Ответ: \(\left( {-\infty ;\,-3} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {3;\,\infty } \right).\)